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设H有一组子群H1，H2，…，Hn，使得∀h∈H可唯一地表示为则（容易验证，给出到H的同构）．在这种情况，称H是H1，H2，…，Hn的内直和（经常简单地称为直和），记作称Hi是H的直和因子（也称作直加项）．
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设F是有限基自由交换群，｛f1，f2，…，fn｝是它的基，记〈fi〉是fi生成的自由循环群，则
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命题A.3 设H1，H2是H的子群，H1＋H2＝H（即∀h∈H，有表示式h＝h1＋h2，hi∈Hi），并且H1∩H2＝0，则H＝H1H2．
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证明 只须证明对h∈H，表示式h＝h1＋h2（hi∈Hi）是唯一的．若另有则因而从而即 ▎
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命题A.4 设j∶H→F是满同态，并且F是自由交换群，则（Kerj＝j-1（0），称为j的核．）
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证明 取A是F的一个基．规定对应θ∶A→H，使得∀a∈A，j（θ（a））＝a．由θ线性扩张得到同态φ∶F→H，它满足jφ＝id∶F→F．从而φ是单同态．∀h∈H，记h2＝φ（j（h）），h1＝h－h2．则h1∈Kerj，h2∈Imφ．如果h∈Kerj∩Imφ，则有f∈F，使得φ（f）＝h，于是h＝φ（jφ（f））＝φ（j（h））＝0．由命题A.3，
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推论 设H0是有限生成交换群H的子群，则
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特别地
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3．有限生成交换群的秩
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设H是交换群，记H*是所有从H到R（看作加法群）的群同态的集合，在H*中规定加法运算和数乘运算如下：
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∀f，g∈H*，则f＋g∈H*，规定为
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（f＋g）（h）＝f（h）＋g（h）， ∀h∈H；
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