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∀f∈H*，r∈R，则rf∈H*，规定为
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（rf）（h）＝rf（h）， ∀h∈H．
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不难验证，在这两种运算下H*为实线性空间．
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设φ∶H1→H2是同态，则规定为不难验证φ*是线性映射．容易看出，若φ是同构，则φ*也是同构．
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例如，Z*＝R（1维实线性空间）；设Q为有理数加群，Q*＝R；若H的每个元素都是有限阶的，则H*＝0（习题6）．
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命题A.5 （1）
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（2）若H0是H的子群，并且H/H0的每个元素都是有限阶的，则
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证明 （1）规定如下：令ζ（f1，f2）∈（H1H2）*为
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ζ（f1，f2）（h1，h2）＝f1（h1）＋f2（h2），∀（h1，h2）∈H1H2，则ζ是线性映射．若ζ（f1，f2）＝0，则∀h1∈H1，
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f1（h1）＝ζ（f1，f2）（h1，0）＝0，
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因此f1＝0．同理f2＝0，从而（f1，f2）＝0，这说明ζ是单的．设g∈（H1H2）*，由f1（h1）＝g（h1，0）规定由f2（h2）＝g（0，h2）规定则ζ（f1，f2）＝g．从而ζ是满的．于是ζ是同构．
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（2）记i∶H0→H是包含映射．下面证是同构．
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若i*（f）＝0，即∀h0∈H0，f（h0）＝0．由H/H0的元素是有限阶的，知C（H0）＝H，即∀h∈H，存在r∈N，使得rh∈H0．于是rf（h）＝f（rh）＝0，从而f（h）＝0．由h的任意性得出f＝0．证明了i*是单的．
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设令rh＝min｛r∈N｜rh∈H0｝，规定f∶H→R为如果rh∈H0，则rh｜r，从而由此事实不难验证f∈H*．显然i*（f）＝g．i*是满的． ▎
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定义A.3 当H是有限生成交换群时，称线性空间H*的维数为交换群H的秩，记作rankH．
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