1701048447
1701048448
f1（h1）＝ζ（f1，f2）（h1，0）＝0，
1701048449
1701048450
1701048451
1701048452
1701048453
因此f1＝0．同理f2＝0，从而（f1，f2）＝0，这说明ζ是单的．设g∈（H1H2）*，由f1（h1）＝g（h1，0）规定由f2（h2）＝g（0，h2）规定则ζ（f1，f2）＝g．从而ζ是满的．于是ζ是同构．
1701048454
1701048455
1701048456
（2）记i∶H0→H是包含映射．下面证是同构．
1701048457
1701048458
若i*（f）＝0，即∀h0∈H0，f（h0）＝0．由H/H0的元素是有限阶的，知C（H0）＝H，即∀h∈H，存在r∈N，使得rh∈H0．于是rf（h）＝f（rh）＝0，从而f（h）＝0．由h的任意性得出f＝0．证明了i*是单的．
1701048459
1701048460
1701048461
1701048462
1701048463
1701048464
设令rh＝min｛r∈N｜rh∈H0｝，规定f∶H→R为如果rh∈H0，则rh｜r，从而由此事实不难验证f∈H*．显然i*（f）＝g．i*是满的． ▎
1701048465
1701048466
定义A.3 当H是有限生成交换群时，称线性空间H*的维数为交换群H的秩，记作rankH．
1701048467
1701048468
于是rankZ＝1，从而根据命题A.5（1），当F是有限基自由交换群，并且一个基含n个元素时，rankF＝n．由此可见有限基自由交换群的每个基含有相同个数元素．
1701048469
1701048470
1701048471
1701048472
对于一般有限生成交换群H，因为所以用命题A.5中的（1），rankH＝rank（H/TH）是有限数．
1701048473
1701048474
我们要指出，许多文献中对所有交换群都规定秩，并且定义方式与这里不同，但对于有限生成交换群，意义和本书中是一致的．
1701048475
1701048476
定理A.2 设H0是有限生成交换群H的子群，则
1701048477
1701048478
rankH＝rankH0＋rank（H/H0）．
1701048479
1701048480
1701048481
证明 因为所以用命题A.5（1）
1701048482
1701048483
rankH＝rank（C（H0））＋rank（H/C（H0））．
1701048484
1701048485
H0⊂C（H0），且C（H0）/H0的元素是有限阶的，从而根据命题A.5（2），rank（C（H0））＝rankH0．剩下只用证明rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））．
1701048486
1701048487
根据代数学中的定理，
1701048488
1701048489
1701048490
1701048491
1701048492
而且H/C（H0）是自由交换群，于是
1701048493
1701048494
1701048495
1701048496