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rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））． ▎
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4．有限生成交换群的直和分解
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设F是秩为n的自由交换群．F中元素x称为可除的，如果存在自然数r＞1，和x1∈F，使得x＝rx1．
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取定F的基｛y1，y2，…，yn｝，设则x不可除r1，r2，…，rn的最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．
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当x是某个基的成员时，不妨设｛x，y2，…，yn｝是基，则x的坐标为（1，0，…，0），这组坐标的最大公因子为1，故x不可除．反之，若x不可除，不妨设对于基｛yi｝，有1．则由前面的引理，存在使得
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则｛x1，…，xn｝∶＝｛（y1，…，yn）A-1｝也是基，x＝x1．我们证明了
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命题A.6 x不可除x是某个基的一个成员． ▎
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命题A.7 ∀x∈F，存在唯一自然数r和不可除元素x1，使得x＝rx1．称r为x的高度，x1为x的底．
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证明 任取基｛y1，…，yn｝，设记r＝（r1，…，rn），则x1不可除，且x＝rx1．
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若另有其中r′也是自然数，不可除，记则于是因此 ▎
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定理A.3 设F是秩为n的自由交换群，F0是F的子群，则F0也是有限基自由交换群，其秩s≤n；并且存在F的基｛x1，…，xn｝，使得｛k1x1，…，ksxs｝是F0的基，其中ki∈N，且ki｜ki＋1（i＝1，…，s－1）．
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证明 对F的秩n作归纳证明．n＝0时结论显然成立．
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