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于是rankZ＝1，从而根据命题A.5（1），当F是有限基自由交换群，并且一个基含n个元素时，rankF＝n．由此可见有限基自由交换群的每个基含有相同个数元素．
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对于一般有限生成交换群H，因为所以用命题A.5中的（1），rankH＝rank（H/TH）是有限数．
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我们要指出，许多文献中对所有交换群都规定秩，并且定义方式与这里不同，但对于有限生成交换群，意义和本书中是一致的．
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定理A.2 设H0是有限生成交换群H的子群，则
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rankH＝rankH0＋rank（H/H0）．
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证明 因为所以用命题A.5（1）
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rankH＝rank（C（H0））＋rank（H/C（H0））．
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H0⊂C（H0），且C（H0）/H0的元素是有限阶的，从而根据命题A.5（2），rank（C（H0））＝rankH0．剩下只用证明rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））．
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根据代数学中的定理，
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而且H/C（H0）是自由交换群，于是
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rank（H/H0）＝rank（H/C（H0））． ▎
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4．有限生成交换群的直和分解
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设F是秩为n的自由交换群．F中元素x称为可除的，如果存在自然数r＞1，和x1∈F，使得x＝rx1．
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取定F的基｛y1，y2，…，yn｝，设则x不可除r1，r2，…，rn的最大公约数（r1，r2，…，rn）＝1．
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当x是某个基的成员时，不妨设｛x，y2，…，yn｝是基，则x的坐标为（1，0，…，0），这组坐标的最大公因子为1，故x不可除．反之，若x不可除，不妨设对于基｛yi｝，有1．则由前面的引理，存在使得
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则｛x1，…，xn｝∶＝｛（y1，…，yn）A-1｝也是基，x＝x1．我们证明了
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命题A.6 x不可除x是某个基的一个成员． ▎