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设H的挠子群为T，则设H还有另一分解式则总可假设s＝s′，否则在短的一方后面加上几个Z1＝0．下面用反证法证明：否则，有r，使得而时．不妨设考虑有限群krT的阶（所含元素个数）．一方面其阶为
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另一方面阶等于
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因为，所以两个结果不相等，矛盾． ▎
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5．群的自由乘积，自由群
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从现在起，我们转向一般群（不必是交换群）．
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定义A.4 设｛Gλ｜λ∈Λ｝是一族群，规定它们的自由乘积是一个群，作为集合
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xi是某个Gλ中的非单位元，
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xi与xi＋1不在同一Gλ中｝，
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其中n＝0的元素只有一个，记作1；乘法规定如下：设x1x2…xn和y1y2…ym是两个元素，如果i≤l时xn－i＋1与yi属于同一个Gλ，且xn－iyi＝1，而xn－l与yl＋1不再有此性质，则它们的乘积为：
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乘法的结合律的验证较繁琐，这里省略了．按照定义，每个Gλ可自然看作的子群．
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命题A.8 设H是一群，∀λ∈Λ，有同态fλ∶Gλ→H，则存在唯一同态使得f｜Gλ＝fλ，∀λ∈Λ．
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证明 f在每个Gλ上已有定义．于是可规定
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=f（x1…xn）＝f（x1）…f（xn）．
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不难验证它保持运算． ▎
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有限多个群G1，…，Gs的自由乘积也可记作G1*G2*…*Gs，但其中Gi的顺序是不重要的．
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本书中只涉及到有限自由乘积．