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记是包含映射．取定λ0∈Λ，作同态fλ∶Gλ→为：若λ≠λ0，则fλ是平凡的，用命题A.8，得到同态使得平凡，∀λ≠λ0．
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定义A.5 群G称为自由群，如果有子集A⊂G，使得∀x∈G可唯一地表示成如下形式
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ai∈A，ai≠ai＋1，
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ki（i＝1，2，…，n）是非零整数，
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称A是G的一个自由生成元组．
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当G是自由群时，∀x∈G都不是有限阶的，因此它生成的子群〈x〉是自由循环群．比较自由群与自由乘积的定义，不难看出
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命题A.9 如果G是自由群，A是自由生成元组，则
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6．用母元和关系表示一个群
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拓扑学中，常用母元和关系来表现一个群．在许多场合，这种方法有几何直观性，应用起来方便而自然．
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设X是一个非空集合．∀x∈X，可构造一个自由循环群Z（x）如下：Z（x）＝｛xn｜n∈Z｝，乘法为xn·xm＝xn＋m．
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规定自由群
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则X⊂F（X），并且是F（X）的一个自由生成元组．称F（X）是由X所生成的自由群．
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设R是F（X）的一组元素，［R］是由R生成的F（X）的正规子群（即包含R的最小正规子群），引进记号
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｛X；R｝∶＝F（X）/［R］，
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它是F（X）的一个商群．
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设G是一个群，X是G的一个生成元组．于是自由群F（X）的每个元素自然地决定G中有同一形式的元素，由此规定了从F（X）到G的一个满同态．因此G可看作F（X）的一个商群，记上述同态的核为N，则G＝F（X）/N．如果F（X）的一个元素组R生成的正规子群就是N，则G＝｛X；R｝．把X与R一起称为G的一个表示，它们分别称为这个表示的母元组和关系组．当X与R都是有限集合时，就称X与R为G的一个有限表示．
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如果X是G的自由生成元组，则G＝F（X），于是
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G＝｛X；∅｝，
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