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当G是自由群时，∀x∈G都不是有限阶的，因此它生成的子群〈x〉是自由循环群．比较自由群与自由乘积的定义，不难看出
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命题A.9 如果G是自由群，A是自由生成元组，则
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6．用母元和关系表示一个群
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拓扑学中，常用母元和关系来表现一个群．在许多场合，这种方法有几何直观性，应用起来方便而自然．
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设X是一个非空集合．∀x∈X，可构造一个自由循环群Z（x）如下：Z（x）＝｛xn｜n∈Z｝，乘法为xn·xm＝xn＋m．
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规定自由群
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则X⊂F（X），并且是F（X）的一个自由生成元组．称F（X）是由X所生成的自由群．
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设R是F（X）的一组元素，［R］是由R生成的F（X）的正规子群（即包含R的最小正规子群），引进记号
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｛X；R｝∶＝F（X）/［R］，
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它是F（X）的一个商群．
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设G是一个群，X是G的一个生成元组．于是自由群F（X）的每个元素自然地决定G中有同一形式的元素，由此规定了从F（X）到G的一个满同态．因此G可看作F（X）的一个商群，记上述同态的核为N，则G＝F（X）/N．如果F（X）的一个元素组R生成的正规子群就是N，则G＝｛X；R｝．把X与R一起称为G的一个表示，它们分别称为这个表示的母元组和关系组．当X与R都是有限集合时，就称X与R为G的一个有限表示．
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如果X是G的自由生成元组，则G＝F（X），于是
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G＝｛X；∅｝，
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或简单写成G＝｛X｝．
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下面再给出两个简单的例子．
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若G是以a和b为基的自由交换群，则
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G＝｛a，b；aba-1b-1｝．
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设x是n阶循环群Zn的生成元，则
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Zn＝｛x；xn｝．
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用母元和关系来看群的自由乘积，有很简单的表达形式．当两个群都用母元和关系来表示时，则它们的自由乘积的一个表示可用以下方式得到：把两个群的母元组作无交并，两个群的关系组也作无交并，分别得到自由乘积的表示中的母元组和关系组．以上结果的论证这里略去了．
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7．群的交换化
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设G为群，∀a，b∈G，记