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［a，b］＝a-1b-1ab，
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称作a与b的换位子．容易看出，ab＝ba［a，b］＝1．记
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G′＝｛x∈G｜x是有限个换位子的乘积｝，
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则容易看出G′是G的子群，称为G的换位子群．G′还是G的一个正规子群．因为如果x∈G′，y∈G，则
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y-1xy＝［y，x-1］x∈G′．
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记不难验证，是一个交换群，称为G的交换化．
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命题A.10 设f∶G1→G2是一个同态，记是Gi的换位子群，是投射（i＝1，2），则并且存在同态使得右边的图表交换．
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证明 因为由G1的全体换位子生成，而对每个换位子［a，b］，由于所以于是j2f（G1）＝0，从而它诱导使右面图表可交换． ▎
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当G2是交换群时，于是上面的图表变为下边的图表，并且
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现在假设f∶G1→G2是满同态．记G0＝Kerf，是投射．设是投射，则jj1（G0）＝0，从而诱导出同态使得lf＝jj1．或者说有下面的交换图表．在这些规定下，有以下命题．
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