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根据命题A.11的推论，我们可得（［G2］为G1*G2中由G2生成的正规子群，习题9说明了［G2］＝Kerφ1）．而与一样，是单同态，从而 ▎
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用归纳法可把命题A.12推广到有限自由乘积的情形：
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例如G是自由群，基A中有n个元素，则于是是n维自由交换群．下面两个例子的结果在第四章用到．
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例1 设G是自由群，｛a1，…，am｝是一个基．是b生成的正规子群．求G/G0的交换化．
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记j∶G→G/G0的投射，则有满同态根据命题A.11的推论，从而根据命题A.12，是秩为m的自由交换群，并且若记则是的基；而jG（G0）是生成的自由循环群．记则也是的基，并且jG（G0）是生成的子群．于是
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例2 设G是自由群，｛a1，b1，…，an，bn｝为基．c＝［a1，b1］…［an，bn］，记G0是c生成的正规子群，计算
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做法同例1．但现在G0≤G′，因此jG（G0）＝0．于是
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习 题
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1．设F是自由交换群，H1和H2都是交换群．又设j∶H1→H2是满同态，f2∶F→H2是同态，则存在同态f1∶F→H1，使得jf1＝f2．
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2．证明两个有限生成交换群的直和也是有限生成的．
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