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命题A.11 从而
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证明 因为是交换群，所以只须再证
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∀g2∈Kerl，取g1∈f-1（g2）．于是jj1（g1）＝lf（g1）＝l（g2）＝0，从而j1（g1）∈j1（G0），即存在g0∈G0，使得j1（g0）＝j1（g1）．于是则 ▎
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推论 若f∶G1→G2是满同态，Kerf＝G0．设是f诱导的同态（命题A.10），则其中是投射．
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证明 根据命题A.11，有同构使得hl＝j2，见左面图表．于是（hj）j1＝j2f即就是f诱导的同态从而 ▎
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命题A.12
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证明记iλ∶Gλ→G1*G2是包含映射，λ＝1，2；记φ1∶G1*G2→G1，是满足φ1i1＝id，φ1i2平凡的同态．则有和使得（习题10）．根据习题4（或习题11），只用再证明
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