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记j∶G→G/G0的投射，则有满同态根据命题A.11的推论，从而根据命题A.12，是秩为m的自由交换群，并且若记则是的基；而jG（G0）是生成的自由循环群．记则也是的基，并且jG（G0）是生成的子群．于是
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例2 设G是自由群，｛a1，b1，…，an，bn｝为基．c＝［a1，b1］…［an，bn］，记G0是c生成的正规子群，计算
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做法同例1．但现在G0≤G′，因此jG（G0）＝0．于是
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习 题
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1．设F是自由交换群，H1和H2都是交换群．又设j∶H1→H2是满同态，f2∶F→H2是同态，则存在同态f1∶F→H1，使得jf1＝f2．
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2．证明两个有限生成交换群的直和也是有限生成的．
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3．设F＝F1F2，其中F1和F2都是自由交换群，分别以A1和A2为基，则F也是自由交换群，以A1×｛0｝∪｛0｝×A2为基．
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4．设H1和H2都是交换群，f∶H1→H2和g∶H2→H1是同态，满足fg＝id．则
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H1＝ImgKerf．
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5．任一非空自由交换群有直和因子是有限基自由交换群．
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6．若H的每个元素都是有限阶的，则H*＝0．
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7．若φ∶H1→H2是满同态，则φ*是单的．
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8．有限生成交换群的子群也是有限生成的．
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9．设φ1∶G1*G2→G1满足φ1i1＝id，φ1i2平凡，则Kerφ1是G1*G2中由G2生成的正规子群．
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10．若f1∶G1→G2，f2∶G2→G3．证明
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11．若G0是G的子群，并有同态φ∶G→G0使得φi＝id，则
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