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证明 根据命题A.11，有同构使得hl＝j2，见左面图表．于是（hj）j1＝j2f即就是f诱导的同态从而 ▎
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命题A.12
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证明记iλ∶Gλ→G1*G2是包含映射，λ＝1，2；记φ1∶G1*G2→G1，是满足φ1i1＝id，φ1i2平凡的同态．则有和使得（习题10）．根据习题4（或习题11），只用再证明
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根据命题A.11的推论，我们可得（［G2］为G1*G2中由G2生成的正规子群，习题9说明了［G2］＝Kerφ1）．而与一样，是单同态，从而 ▎
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用归纳法可把命题A.12推广到有限自由乘积的情形：
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例如G是自由群，基A中有n个元素，则于是是n维自由交换群．下面两个例子的结果在第四章用到．
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例1 设G是自由群，｛a1，…，am｝是一个基．是b生成的正规子群．求G/G0的交换化．
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