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5．任一非空自由交换群有直和因子是有限基自由交换群．
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6．若H的每个元素都是有限阶的，则H*＝0．
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7．若φ∶H1→H2是满同态，则φ*是单的．
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8．有限生成交换群的子群也是有限生成的．
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9．设φ1∶G1*G2→G1满足φ1i1＝id，φ1i2平凡，则Kerφ1是G1*G2中由G2生成的正规子群．
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10．若f1∶G1→G2，f2∶G2→G3．证明
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11．若G0是G的子群，并有同态φ∶G→G0使得φi＝id，则
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基础拓扑学讲义 [:1701040243]
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基础拓扑学讲义 附录B Van-Kampen定理
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假设X1，X2是拓扑空间X的两个子空间，交集X0＝X1∩X2非空．记il∶X0→Xl（l＝1，2）和都是包含映射，则
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l＝1，2．
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或者说有右图所示的交换图表．
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取定x0∈X0．在自由乘积π1（X1，x0）*π1（X2，x0）中，由子集
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｛（i1）π（α）（i2）π（α-1）｜α∈π1（X0，x0）｝
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所生成的正规子群记作G，并规定
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π：＝π1（X1，x0）*π1（X2，x0）/G．
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在以上的约定和记号下，Van-Kampen定理可表述为：
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