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（ii）若u，v都是x0处闭路，并且在X1或X2中则［u］＝［v］．
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现在来证φ是单的．设ω∈π，使φ（ω）＝1，要证ω＝1．ω是π1（X1，x0）*π1（X2，x0）的一个G陪集，设它含元素其中lh＝1或2（h＝1，…，n）．于是ω＝［a1］［a2］…［an］．
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构作x0处闭路a，使得决定的道路就是ah，h＝1，…，n，则a代表的π1（X，x0）中的元素从而有a到的定端同伦H∶I×I→X．
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取能被n整除的足够大的正整数m，使得I×I等分成的m2个小正方形的每一块被H映入X1或X2．记j，k＝0，…，m．把H在线段Aj－1kAjk和Ajk－1Ajk上的限制道路分别记作ujk和vjk（见右图）．当H（Ajk）∈Xl（l＝0，1或2）时，取Xl中从x0到H（Ajk）的道路wjk（如果H（Ajk）＝x0，则记
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规定π中元素
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则λjm＝μ0k＝μmk＝1，并且
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于是
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记ηk＝λ1kλ2k…λmk（k＝0，1，…，m），则∀k＝0，…，m－1，有
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于是η0＝ηm＝λ1mλ2m…λmm＝1．
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记则
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于是η0＝［a1］［a2］…［an］＝ω．从而ω＝1．