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定理证毕． ▎
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定理的条件中，X道路连通可以去掉，因为当X不道路连通时，只用把它换成X0所在的道路分支．
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下面用母元和关系的语言来表述Van-Kampen定理．
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设拓扑空间X分解为开集X1与X2之并，使得交集X0＝X1∩X2非空并且道路连通．取定基点x0∈X0．设基本群π1（Xi，x0）有表示｛Ai，Ri｝，其中Ai是母元组，Ri为关系组，i＝0，1，2．记li∶X0→Xi是包含映射，i＝1，2．规定A1A2上的关系组
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R｛（l1）π（α）（l2）π（α-1）｜α∈A0｝．
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Van-Kampen定理 在上面的记号和约定下，π1（X，x0）有表示｛A1A2；R1R2R｝．
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（是无交并的记号）．
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基础拓扑学讲义 [:1701040244]
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基础拓扑学讲义 附录C 链同伦及其应用
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本附录先从纯代数的角度回顾第六、七章中提到的链复形和链映射的概念，然后提出链同伦概念，并用来解决第七章中的两个问题．
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1．链复形、链映射和链同伦
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定义C.1 链复形是由交换群序列｛Cq｜q∈Z｝和满足条件∂q－1∂q＝0（∀q∈Z）的同态序列｛∂q∶Cq→Cq－1｜q∈Z｝构成的代数组合体，记作C＝｛Cq；∂q｜q∈Z｝．称Cq是C的q维链群，称∂q是C的q维边缘同态．
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称Zq（C）Ker ∂q为C的q维闭链群，Bq（C）Im∂q＋1是C的q维边缘链群．从∂q∂q＋1＝0容易推出Bq（C）⊂Zq（C）．称Hq（C）Zq（C）/Bq（C）为C的q维同调群．
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定义C.2 设C和C′是两个链复形，同态序列如果与边缘同态交换，即∀q∈Z，图表
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可交换，则称φ是C到C′的一个链映射，记作φ∶C→C′．
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当φ∶C→C′是链映射时，φq（Zq（C））⊂Zq（C′），φq（Bq（C））⊂Bq（C′），从而φ诱导出同调群同态φ*q∶Hq（C）→Hq（C′）．