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因此
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定义C.3 设C和C′是两个链复形，φ，ψ是C到C′的两个链映射，如果存在同态序列使得φD＝ψ－φ，则称φ与ψ链同伦，记作称D为从φ到ψ的一个链伦移．
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显然，当时，φ*q＝ψ*q，∀q∈Z．
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2．零调承载子
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复形K称为零调的，如果
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定义C.4 设K，L都是复形，K到L的一个零调承载子ξ是一个映射，它把K的每个单形映为L的子复形并且满足
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（1）当时，
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（2）是零调的．
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如果φ∶C（K）→C（L）是链映射，ξ是K到L的零调承载子，满足是s相应的单形），就说ξ承载φ．
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链映射φ∶C（K）→C（L）称为正常的，如果φ0不改变0维链的指数，即∀c∈C0（K），
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d（φ0（c））＝d（c）．
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由单纯映射诱导的链映射和重分链映射都是正常的．
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定理C.1 如果两个正常链映射φ，ψ∶C（K）→C（L）都被同一零调承载子ξ所承载，则从而φ*q＝ψ*q，∀q∈Z．
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证明 归纳地规定φ到ψ的链伦移D的各维同态Dq．
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∀a∈K0，因为φ，ψ都是正常的，所以d（ψ0（a）－φ0（a））＝0，并且ψ0（a）－φ0（a）∈C0（ξ（a））．因此是ξ（a）的0维边缘链，于是，可规定D0（a）∈C1（ξ（a）），使得∂1（D0（a））＝ψ0（a）－φ0（a）．得到对应D0∶K0→C1（L），然后线性扩张得同态D0∶C0（K）→C1（L），使得