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因此由于ξ（s）是零调的，ψq（s）－φq（s）－Dq－1（∂q（s））也是边缘链．于是我们可规定使得
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∂q＋1（Dq（s））＝ψq（s）－φq（s）－Dq－1（∂q（s））．
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这样，我们规定了对应Dq∶Tq（K）→Cq＋1（L），满足
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并且它的线性扩张Dq∶Cq（K）→Cq＋1（L）满足
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∂q＋1Dq＋Dq－1∂q＝ψq－φq．
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归纳定义完成． ▎
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作为定理的应用，我们来解决第七章中遇到的两个问题．
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定理C. 2 如果φ，ψ∶k→L都是连续映射f∶｜K｜→｜L｜的单纯逼近，则φ*q＝ψ*q∶Hq（K）→Hq（L），∀q∈Z．
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证明 仍用φ，ψ记它们所诱导的链映射，它们都是正常的．只须证明它们有公共的零调承载子．对的任一内点x，有
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因此和是L中同一个单形的面．令是L中以为面的维数最小的单形的闭包复形，则ξ是φ和ψ的公共的零调承载子． ▎
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定理C.3 设π∶C（K（1））→C（K）是标准链映射，η∶C（K）→C（K（1））是重分链映射，则η*qπ*q＝id∶Hq（K（1））→Hq（K（1）），∀q∈Z．
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证明 π和η都是正常的，因此ηπ也是正常的，只须证明它与C（K（1））的恒同链映射有公共的零调承载子．
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