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5．根据命题1.8的（2），只要证∀x∈X，存在x的一个邻域∪，使得f｜U∶U→Y连续．
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取x的邻域U，使得它只与中有限个成员C1，C2，…，Cn相交．于是由f｜Ci连续，得到f｜U∩Ci连续．再用粘接引理得f｜U连续．
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7．若A是X的可数稠密子集．由第1题的（2），
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8．连续性由τf⊂τc得到．又因为τc≠τf，所以不是同胚．
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9．f在（-∞，0）和［1，+∞）上的限制都连续，用粘接引理得f连续．
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f-1不连续，例如（-∞，0）是E1\［0，1）的闭集，但
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（f-1）-1（（-∞，0））＝f（（-∞，0））＝（-∞，0）
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不是E1的闭集．
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10．是开映射而不是闭映射的例子：包含映射i∶（0，1）→E1．
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是闭映射而不是开映射的例子：r∶E1→［-1，1］，规定为
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12．先验证｜f（x1）－f（x2）｜≤d（x1，x2）．再用定义推出f连续．
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若x∈A，显然f（x）＝0．若即x∈开集Ac，则有ε＞0，使得B（x，ε）⊂Ac，从而f（x）＝d（x，A）≥ε．
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13．证法一 若x，y∈R，不妨设x＜y．因为f-1（f（x））是含x的闭集，由τ的定义，它必含［x，∞），从而含y，即f（y）＝f（x）．
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证法二 用反证法．若f（R）中有两个不同点a和b，则f-1（a）和f-1（b）是（R，τ）中的两个不相交的非空闭集，但（R，τ）中任何两个非空闭集必相交．
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§3
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2．（1）由第1题知是包含A×B的闭集，从而
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