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直接验证包含式设W是（x，y）的邻域，则有X，Y中的开集U，V，使得
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（x，y）∈U×V⊂W，
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则W∩（A×B）⊃（U∩A）×（V∩B）≠∅．
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（2）是包含于A×B的开集，从而直接验证若（x，y）∈（A×B）°，则有X，Y中开集U，V，使得（x，y）∈U×V⊂（A×B）°，从而x∈U⊂A，y∈V⊂B．于是
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3．设W是X1×X2的非空开集，则由乘积拓扑的定义，W可表示为其中Ua，Vα分别是X1，X2的非空开集，∀α⊂．于是分别是X1，X2的开集．
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4．要证F∶X→F（X）是同胚．一一性明显．用定理1.3得F∶X→X×Y连续，再用§2习题2的结果推得F∶X→F（X）连续．F-1∶F（X）→X是jX∶X×Y→X的限制，也连续．
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6．设＝｛（A1×A2）∩（U1×U2）｜Ui是Xi的开集｝
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＝｛V1×V2｜Vi是Ai的开集｝，
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所以既是A1×A2（作为X1×X2的子空间）的子空间拓扑的拓扑基，又是A1×A2的乘积拓扑的拓扑基．
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7．构造映射F∶X→E2为F（x）＝（f（x），g（x））．由定理1.3知F连续．F分别和由（x，y）x±y，（x，y）xy规定的E2到E1的连续映射复合，得到f±g，fg．因此f±g，fg都连续．
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9．［a，b）∈，从而是的开集．又因为
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也是开集，所以［a，b）是闭集．
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10．按命题1.12验证．记τ是X1×X2的乘积拓扑，则⊂τ．若U1，U2分别是X1和X2的开集，则从而τ的每个开集属于即
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第 二 章
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§1