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12．先验证｜f（x1）－f（x2）｜≤d（x1，x2）．再用定义推出f连续．
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若x∈A，显然f（x）＝0．若即x∈开集Ac，则有ε＞0，使得B（x，ε）⊂Ac，从而f（x）＝d（x，A）≥ε．
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13．证法一 若x，y∈R，不妨设x＜y．因为f-1（f（x））是含x的闭集，由τ的定义，它必含［x，∞），从而含y，即f（y）＝f（x）．
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证法二 用反证法．若f（R）中有两个不同点a和b，则f-1（a）和f-1（b）是（R，τ）中的两个不相交的非空闭集，但（R，τ）中任何两个非空闭集必相交．
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§3
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2．（1）由第1题知是包含A×B的闭集，从而
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直接验证包含式设W是（x，y）的邻域，则有X，Y中的开集U，V，使得
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（x，y）∈U×V⊂W，
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则W∩（A×B）⊃（U∩A）×（V∩B）≠∅．
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（2）是包含于A×B的开集，从而直接验证若（x，y）∈（A×B）°，则有X，Y中开集U，V，使得（x，y）∈U×V⊂（A×B）°，从而x∈U⊂A，y∈V⊂B．于是
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3．设W是X1×X2的非空开集，则由乘积拓扑的定义，W可表示为其中Ua，Vα分别是X1，X2的非空开集，∀α⊂．于是分别是X1，X2的开集．
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4．要证F∶X→F（X）是同胚．一一性明显．用定理1.3得F∶X→X×Y连续，再用§2习题2的结果推得F∶X→F（X）连续．F-1∶F（X）→X是jX∶X×Y→X的限制，也连续．
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6．设＝｛（A1×A2）∩（U1×U2）｜Ui是Xi的开集｝
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＝｛V1×V2｜Vi是Ai的开集｝，
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所以既是A1×A2（作为X1×X2的子空间）的子空间拓扑的拓扑基，又是A1×A2的乘积拓扑的拓扑基．
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