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1．利用定理1.1的（2）．
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2．．利用命题1.9及包含映射连续．
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．按定理1.1的（1）的结果验证f连续．设V是B的开集，则存在Y中开集U，使得V＝B∩U＝i-1（U）．于是
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f-1（V）＝f-1（i-1（U））＝（if）-1（U），
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因为if连续，（if）-1（U）是X的开集．
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3．即要证f｜A∶A→f（A）是同胚映射．它和它的逆映射的连续性都可用上题结果得到．
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4．X2到X1的一个同胚映射f可规定如下：
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f（x，y，z）＝（xez，yez）；
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X3到X2的一个同胚映射g可规定如下：
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5．根据命题1.8的（2），只要证∀x∈X，存在x的一个邻域∪，使得f｜U∶U→Y连续．
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取x的邻域U，使得它只与中有限个成员C1，C2，…，Cn相交．于是由f｜Ci连续，得到f｜U∩Ci连续．再用粘接引理得f｜U连续．
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7．若A是X的可数稠密子集．由第1题的（2），
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8．连续性由τf⊂τc得到．又因为τc≠τf，所以不是同胚．
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9．f在（-∞，0）和［1，+∞）上的限制都连续，用粘接引理得f连续．
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f-1不连续，例如（-∞，0）是E1\［0，1）的闭集，但
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（f-1）-1（（-∞，0））＝f（（-∞，0））＝（-∞，0）
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不是E1的闭集．
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10．是开映射而不是闭映射的例子：包含映射i∶（0，1）→E1．
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是闭映射而不是开映射的例子：r∶E1→［-1，1］，规定为