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2．设x≠y，由T0公理，不妨设x有邻域U1，yU1．记则F是不含x，含y的闭集．由T3公理，存在x与F的不相交邻域U与V，它们是x与y的不相交邻域．
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3．设A⊂X．只要验证（A′）c是开集．
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∀x∈（A′）c，则x有开邻域U，使得（U｛x｝）∩A＝∅．由T1公理知，U｛x｝是开集，从而U｛x｝⊂（A′）c．于是U⊂（A′）c；所以x是（A′）c的内点．
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4．只要验证（Fixf）c是开集．
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∀x∈（Fixf）c，则f（x）≠x，从而它们有不相交的开邻域U与V．作W＝f-1（U）∩V，则W是x的开邻域，并且W⊂（Fixf）c（验证略）．
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5．只要验证（Gf）c是开集．
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∀（x0，y0）∈（Gf）c，则f（x0）≠y0，从而f（x0）与y0有不相交的开邻域U与V，则f-1（U）×V是（x0，y0）的开邻域，并且容易验证f-1（U）×V⊂（Gf）c．
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6．设x，y是X的两个不同点，于是（x，y）∈∆c．而∆c是开集，从而有X的开集U与V，使得（x，y）∈U×V⊂∆c，于是U，V是x，y的开邻域，且U∩V＝∅．
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8．设X，Y都是Hausdorff空间，（x1，y1）与（x2，y2）是X×Y中的两个不同点．则x1≠x2或y1≠y2．不妨设x1≠x2，则X中有x1与x2的不相交的开邻域U与V．U×Y与V×Y就是（x1，y1）与（x2，y2）的不相交开邻域．
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9．设U与W是F与x的不相交开邻域．则由T3公理的等价条件，x有开邻域V，使得于是U，V是F和x的开邻域，且
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10．设B1与B2是Y的两个不相交闭集，Ai＝f-1（Bi），i＝1，2．则A1，A2是X的不相交闭集，有不相交开邻域U1，U2．作则W1与W2是Y的两个开集，并且
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（1）Bi⊂Wi．（即这是因为f-1（Bi）＝Ai⊂Ui．）
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（2）W1∩W2＝∅．（由U1∩U2＝∅，推出因为f是满射，得到即W1∩W2＝∅．）
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12．用反证法．如果有两点x与y没有不相交的邻域，分别取x与y的可数邻域基｛Un｝与｛Vn｝，使得Un⊃Un＋1，Vn⊃Vn＋1，∀n∈N．那么Un∩Vn≠∅，∀n∈N．取xn∈Un∩Vn，∀n∈N，得到序列｛xn｝，它既收敛到x，又收敛到y．与条件矛盾．
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13．可乘性用T3公理的等价条件证明．如果X与Y都满足T3公理，（x，y）∈X×Y，W是（x，y）的一个开邻域，则存在x与y的开邻域U1与U2使得U1×U2⊂W．由于X与Y都满足T3公理，存在x与y的开邻域V1与V2，使得于是V1×V2是（x，y）的开邻域，并且
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遗传性可直接用定义验证（略）．
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15．若X是可分度量空间，则X满足C2公理．由14题知它的每个子空间也满足C2公理，从而是可分的．
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