1701049413
8．设X，Y都是Hausdorff空间，（x1，y1）与（x2，y2）是X×Y中的两个不同点．则x1≠x2或y1≠y2．不妨设x1≠x2，则X中有x1与x2的不相交的开邻域U与V．U×Y与V×Y就是（x1，y1）与（x2，y2）的不相交开邻域．
1701049414
1701049415
1701049416
1701049417
1701049418
9．设U与W是F与x的不相交开邻域．则由T3公理的等价条件，x有开邻域V，使得于是U，V是F和x的开邻域，且
1701049419
1701049420
1701049421
1701049422
10．设B1与B2是Y的两个不相交闭集，Ai＝f-1（Bi），i＝1，2．则A1，A2是X的不相交闭集，有不相交开邻域U1，U2．作则W1与W2是Y的两个开集，并且
1701049423
1701049424
1701049425
（1）Bi⊂Wi．（即这是因为f-1（Bi）＝Ai⊂Ui．）
1701049426
1701049427
1701049428
1701049429
（2）W1∩W2＝∅．（由U1∩U2＝∅，推出因为f是满射，得到即W1∩W2＝∅．）
1701049430
1701049431
12．用反证法．如果有两点x与y没有不相交的邻域，分别取x与y的可数邻域基｛Un｝与｛Vn｝，使得Un⊃Un＋1，Vn⊃Vn＋1，∀n∈N．那么Un∩Vn≠∅，∀n∈N．取xn∈Un∩Vn，∀n∈N，得到序列｛xn｝，它既收敛到x，又收敛到y．与条件矛盾．
1701049432
1701049433
1701049434
13．可乘性用T3公理的等价条件证明．如果X与Y都满足T3公理，（x，y）∈X×Y，W是（x，y）的一个开邻域，则存在x与y的开邻域U1与U2使得U1×U2⊂W．由于X与Y都满足T3公理，存在x与y的开邻域V1与V2，使得于是V1×V2是（x，y）的开邻域，并且
1701049435
1701049436
1701049437
1701049438
1701049439
遗传性可直接用定义验证（略）．
1701049440
1701049441
15．若X是可分度量空间，则X满足C2公理．由14题知它的每个子空间也满足C2公理，从而是可分的．
1701049442
1701049443
1701049444
1701049445
1701049446
1701049447
1701049448
16．本题要说明的任何拓扑基都不可数．设a∈R，则［a，a＋1）是开集，从而在中存在成员Ua，a∈Ua⊂［a，a＋1），它以a为最小值．显然a≠b时，Ua≠Ub．于是有R到的单一对应．R不可数，也不可数．
1701049449
1701049450
18．（2）下面的反例说明不满足T3公理．
1701049451
1701049452
1701049453
S是闭集，任取一个有理数a，则aS．
1701049454
1701049455
如果W是S的一个开邻域，则由拓扑的定义知，W在E1中也是开集，从而是E1的稠密开集．于是W∩Q在E1中也稠密（见第一章§1习题17）．任取a在（R，τ）中的开邻域UA（其中U是E1的非空开集，A⊂S），则
1701049456
1701049457
W∩（UA）⊃（W∩Q）∩U．
1701049458
1701049459
由第一章§1习题第15题知（W∩Q）∩U非空，从而W∩（UA）非空．这样在（R，τ）中，S与a不存在不相交的开邻域．
1701049460
1701049461
1701049462
（3）∀x∈R，取则｛Un｝是x的一个可数邻域基．这说明（R，τ）满足C1公理．