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Q是（R，τ）的可数稠密子集，从而（R，τ）是可分的．
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（4）设A⊂S．因为R（SA）是（R，τ）的开集，所以就有（R（SA））∩S＝A是（S，τs）的开集．这说明S的每个子集都是（S，τs）的开集，从而（S，τs）是离散拓扑空间．
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（5）用反证法．如果（R，τ）满足C2公理，则（S，τs）也满足C2公理，从而应是可分的，与（4）矛盾．
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§2
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1．只证明
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根据定义，f（x）＝inf｛r∈QI｜x∈Ur｝，而从而
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若r∈QI满足则QI中任一大于r的数s，都有x∈Us，因此f（x）≤s．由QI在［0，1］上稠密，得出f（x）≤r．于是又有不等式
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2．把En看作E1×E1×…×E1，记
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f（x）＝（f1（x），f2（x），…，fn（x））．
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将每个fi扩张到X上得到规定为
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则是f的扩张．
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3．设r∶En→D是收缩映射，有ri＝id∶D→D，从而f＝rif∶A→D．映射if∶A→En可扩张为（上题结果），则是f的扩张．
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4．设f∶A→Sn是一连续映射，记i∶Sn→En＋1是包含映射，规定r∶En＋1｛O｝→Sn为将if∶A→En＋1扩张为g∶X→En＋1．记U＝g-1（En＋1｛O｝），则U是A的开邻域，并且
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r（g｜U）∶U→Sn
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