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．设是X的开覆盖，则闭集族＝｛Uc｜U∈｝之交为空集，即不是有核的，有有限个成员使得即U1，U2，…，Un是一个子覆盖．
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10．用引理，∀b∈B，有A和b的开邻域Ub与Vb，使得Ub×Vb⊂W．｛Vb｜b∈B｝构成B在Y中的开覆盖，有有限子覆盖令U与V即满足要求．
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11．设A是X×Y的闭子集，要证明j（A）是X的闭集，即（j（A））c是开集．∀x∈（j（A））c，则｛x｝×Y＝j-1（x）⊂Ac．用引理，存在x的开邻域U，使得U×Y⊂Ac，即U⊂（j（A））c，于是x是（j（A））c的内点．
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13．∀a∈A，则a∈U．由于X满足T3公理，存在a的开邻域Va，使得于是｛Va｜a∈A｝是A在X中的开覆盖，有有限子覆盖记则A⊂V，
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14．设A⊂X紧致，是在X中的开覆盖，则也是A的开覆盖，有有限子覆盖U1，U2，…，Un，即由上题知即U1，U2，…，Un也是关于的有限子覆盖．
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15．必要性略．
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充分性的证明，用反证法．如果X不紧致，则有序列｛xn｝，它没有收敛子序列．不妨设｛xn｝各项不相同，记A是｛xn｝中各项构成的子集．∀x∈X，x必有邻域不含A｛x｝的点，从而A是X的闭集，并且是离散的．作函数f0∶A→E1为f（xn）＝n，则f0连续，它可扩张到X上，得到X上的一个无界的连续函数．
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16．按定义验证f-1（B）紧致，即对f-1（B）在X中的任一开覆盖，找出有限子覆盖．∀b∈B，也是紧致集f-1（b）的开覆盖，从而f-1（B）被中有限个成员盖满，记这有限个成员之并集为Wb．作则可验证Vb是b的开邻域，且f-1（Vb）⊂Wb．
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｛Vb｜b∈B｝又是B在Y中的开覆盖，有有限子覆盖则
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于是f-1（B）被中有限个成员盖满．
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