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是f的扩张．
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§3
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2．（1）用反证法．如果可数开覆盖｛Un｝没有有限子覆盖，取得到序列｛xn｝．因为X列紧，所以｛xn｝有收敛的子序列｛xni｝．设xni→x0，x0∈Um．但当ni≥m时，所以Um只包含｛xni｝有限多项，这与xni→x0矛盾．
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（2）假设是X的一个可数拓扑基．若是X的一个开覆盖，作的子族包含在的某个成员中｝．则是X的一个可数开覆盖，记作｛Bn｝．对每个Bn，取Un∈，使得Bn⊂Un．则｛Un｝是的可数子覆盖．
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（3）由（1）与（2）的结果得到．
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（4）设X是列紧度量空间．对每个自然数n，取An为X的一个有限网．则是X的可数稠密子集，从而X可分．根据命题2.7，X满足C2公理．
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4．（1）用列紧性证明．∀n∈N，取xn，yn∈A，使得由于｛xn，yn｝都是列紧集A的序列，都有收敛的子序列．不妨设它们本身都收敛，并分别收敛到A中的x0和y0，则d（x0，y0）＝D（A）．
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用紧致性证明．用定理2.7，知A×A也紧致．由f（x，y）＝d（x，y）规定了A×A上的连续函数f．f（A×A）是E1的紧致子集，达到最大值D（A），即必有（x，y）∈A×A，使得f（x，y）＝d（x，y）＝D（A）．
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（2）作函数f∶A→E1为f（y）＝d（x，y），则f连续，从而f（A）紧致，从而有y0∈A，使得f（y0）＝f（A）的最大值d（x，A）．
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（3）作连续函数f∶A→E1为f（x）＝d（x，B）．f（A）紧致，从而存在x0，使得f（x0）是f（A）的最小值d（A，B）．但又因为所以d（A，B）＞0．
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5．用反证法．如果X的无穷子集A没有聚点，则∀x∈X，有开邻域Ux，使得（Ux∩A）｛x｝＝∅．于是X的开覆盖｛Ux｜x∈X｝没有有限子覆盖，从而X不紧致．
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6．首先，单点集总是紧致的，从而X满足T1公理．设X的一个序列｛xn｝收敛到a，b≠a，则X｛b｝是包含a的开集，它必定包含了｛xn｝的几乎所有项，也就是说｛xn｝只有有限项为b．作子集A＝｛xn｜xn≠b｝∪｛a｝．则A紧致，从而是闭集．Ac是b的开邻域，它最多只能含｛xn｝的有限多项，从而xnb．
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9．．如果闭集族之交则｛Ac｜A⊂｝是X的开覆盖，有有限子覆盖于是即不是有核的．
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