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§2
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3．记p∶X×I→CX是粘合映射，a＝p（x，1）为锥顶．则CX｛a｝是CX的开集，且同胚于X×［0，1），从而是Hausdorff空间．于是CX中异于a的两点在CX｛a｝中有不相交开邻域，从而在CX中有不相交开邻域．CX中异于a的点可表示为p（x，t），这里t＜1．取s∈（t，1），则p（X×［0，s））与p（X×（s，1］）是p（x，t）与a的不相交开邻域．
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4．记p∶X→X/A为粘合映射，a＝p（A）．如果X/A中两点b和c都不是a，则p-1（b）与p-1（c）是XA中两点，它们在XA中有不相交开邻域U与V．p（U）与p（V）就是b与c的不相交开邻域．对于X/A中点b≠a，p-1（b）∈XA．X满足T2公理，A紧致，从而p-1（b）与A有不相交的开邻域U与V（见命题2.17），则p（U）与p（V）是b与a的不相交开邻域．
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5．（1）显然f满、连续．设V⊂［0，1］，则f-1（V）∩［0，1］＝V．如果f-1（V）是（-1，2）的开集，则V一定也是［0，1］的开集．
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（2）（1，2）是（-1，2）的开集，但是f（（1，2））＝｛b｝，不是［0，1］的开集，说明f不是开映射．
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（-1，0］是（-1，2）的闭集，但是f（（-1，0］）＝［0，1）不是［0，1］的闭集，说明f不是闭映射．
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6．作f∶I×I→S1×S1为f（x，y）＝（ei2πx，ei2πy）．则f是连续满射．又由于I×I紧致，S1×S1是Hausdorff空间，f是商映射．I×I的等价关系导出I×I的对边粘合（验证略），因此
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7．用复数表示E2上的点，规定连续满映射f∶E2→E2为
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只要再证明f是闭映射，就可知道f是商映射，等价关系就是把D2捏为一点，从而
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设A是E2的闭集．
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（1）如果A是有界闭集，则A紧致，从而f（A）紧致，是E2的闭集．
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（2）如果A与D2不相交，则d（A，0）＝1＋ε，ε＞0．利用f｜E2D2∶E2D2→E2｛0｝是同胚映射，得到f（A）是E2｛0｝的闭集，并且f（A）⊂E2B（0，ε），从而是E2的闭集．
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（3）一般情形，将A表成A＝A1∪A2，其中A1，A2分别适合（1），（2）的要求，从而f（A）＝f（A1）∪f（A2）是E2的闭集．
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8．记p1∶T2→T2/A是粘合映射．将T2沿此经圆和纬圆割开，得一矩形面块X，则X粘合对边得T2，且两双对边分别粘成该经圆和纬圆．记p2∶X→T2是这个粘合映射．则p＝p1p2∶X→T2/A是商映射，且就是把X的边界∂X捏为一点．于是（参见例2）．
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9．由例4知，M由三角形把两边同向粘接而得到，它的边界∂M就是三角形的第三边两端粘合而得到．如果先把第三边捏为一点（得一圆盘），再粘接那两边，相当于粘合圆盘边界上的每一对对径点，因此得到P2．
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10．作映射f∶X×I→aX为f（x，t）＝（1－t）x＋ta，则f是商映射，并且就是将X×｛1｝捏为一点，从而得到
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11．（1）开集（-∞，1）的像记作C，则p-1（C）＝（-∞，1］不是E1的开集，从而C不是E1/（0，1］的开集．闭集［1，+∞）的像记作B，则p-1（B）＝（0，+∞）不是E1的闭集，从而B不是E1/（0，1］的闭集．
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