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（2）因为pA∶A→p（A）是一一对应，所以当它是商映射时就是同胚映射．记X＝p（（-∞，0］）．（-∞，0］是A的开集，但是X的点p（0）并不是X的内点（理由见后），于是X不是开集．这说明pA不是同胚映射，也就不是商映射．
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现在证明p（0）不是X的内点．设V是p（0）在p（A）中的一个开邻域，则存在E1/（0，1］中开集W，使得V＝W∩p（A）．于是p-1（V）＝p-1（W）∩A．p-1（W）是E1中含0点的开集，从而必含（0，1］中的点，这说明p（（0，1］）∈W．这样（0，1］⊂p-1（W），由于p-1（W）是开集，它一定含（1，+∞）中的点，从而W∩p（（0，+∞））≠∅，V∩p（（0，+∞））＝W∩p（（0，+∞））≠∅，V⊄X．由V的任意性知p（0）不是X的内点．
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12．只要证明在下，两点等价必为对径点．
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设f（x，y，z）＝f（x′，y′，z′），即
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（x′，y′，z′）∈S2，因此x′，y′，z′中至少有一个不为0．
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若x′或y′不为0，不妨设x′≠0，记则
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y′＝λy，z′＝λz．
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于是λ2x′2－y2＝x′2－λ2y2，即λ2（x′2＋y2）＝x′2＋y2．因而λ2＝1，λ＝±1．于是（x′，y′，z′）＝±（x，y，z）．
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若x′＝y′＝0，则｜z′｜＝1．再由前两式得到
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x2－y2＝0， xy＝0．
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推得x＝y＝0，｜z｜＝1．也有
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（x′，y′，z′）＝±（x，y，z）．
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13．若f（x，y）＝f（x′，y′），则有
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cos2xπ＝cos2x′π， cos2yπ＝cos2y′π； sin2yπ＝sin2y′π；sin2xπcosπy＝sin2x′πcosπy′； sin2xπsinπy＝sin2x′πsinπy′．由第二、三两式得出y＝y′或｜y－y′｜＝1．
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若y＝y′．则由第四式和第五式推出sin2xπ＝sin2x′π．它和第一式一起推出x＝x′或｜x－x′｜＝1．
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若｜y－y′｜＝1，不妨设y＝0，y′＝1．则第四式化为sin2xπ＝－sin2x′π．它与第一式一起推出x＋x′＝1．
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总之，若f（x，y）＝f（x′，y′），则是下列三种情形之一：
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（1）x＝x′，y＝y′；
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（2）x，x′中一个为0，另一个为1，y＝y′；
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（3）x＋x′＝1，y，y′中一个为0，另一个为1．
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不难看出是Klein瓶．
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14．作p∶D2＋D2→S2为
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