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3．3P2．
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第 四 章
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§1
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2．．记H是到的一个同伦．任取x0∈X，规定Y中道路a∶I→Y为a（t）＝H（x0，t），则a连结y1和y2．于是y1和y2在Y的同一道路分支中．
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．记a是Y中连结y1和y2的道路，作H∶X×I→Y为H（x，t）＝a（t），∀x∈X，则H连续，并且H（x，0）＝y1，H（x，1）＝y2，∀x∈X．即
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3．设Sn上点作g是把X映为-a的常值映射，则∀x∈X，f（x）≠-g（x），由例2知，
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4．．记H∶X×I→Y连结f及一个常值映射，则H把X×｛1｝映为Y的一点，因而H诱导连续映射F∶CX→Y，它限制在X上为f．
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．记F∶CX→Y为f的扩张，p∶X×I→CX是粘合映射，则H＝pF∶X×I→Y是连结f及一个常值映射的同伦．
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5．记F是a到b的定端同伦，规定G＝fF，则G是fa到fb的定端同伦．
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6．．记H∶I×I→X是fp到gp的定端同伦，则它把｛0，1｝×I映为一点x0．规定G∶S1×I→X为G（ei2πt，s）＝H（t，s），则G（1，s）＝x0，∀s∈I，并且G（ei2πt，0）＝H（t，0）＝fp（t）＝f（ei2πt），同理G（ei2πt，1）＝g（ei2πt），即
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．若作H∶I×I为H（t，s）＝G（ei2πt，s），则H是fp到gp的定端同伦．
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8．用反证法．假设f没有不动点．规定S1上的对径映射为h∶S1→S1，即h（z）＝-z，∀z∈S1．因为∀z∈S1，f（z）≠z＝-h（z），由例2知而h与id同伦（请读者自证），从而与条件相违，故f无不动点．
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