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则容易验证p是商映射，且就是i∶S1→D2决定的等价关系．于是
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15．作为
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则p是满的连续闭映射，因而是商映射，且就是所决定的等价关系．于是
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§3
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1．设M是n维流形．∀x∈M，设U是x的开邻域，U同胚于En或于是U满足C1公理，从而x在U中有可数邻域基，它也是x在M中的可数邻域基（验证略）．
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2．设M是紧致n维流形，则M有一个有限开覆盖｛U1，U2，…，Un｝，其中每个Ui同胚于En或E，从而满足C2公理．对每个Ui取可数拓扑基i，则是M的可数拓扑基．
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3．紧致流形满足C2公理，是紧致Hausdorff空间，从而也满足T4公理．用Урысон嵌入定理知它可度量化．
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4．记p∶E1→E1/～是粘合映射．可以验证p是开映射．（只用对每个开区间（a，b），验证p（a，b）是开集，即要说明p-1（p（a，b））是E1的开集．可区分a，b的各种情形进行讨论．）于是可知p（-∞，1）和p（-1，+∞）构成E1/～的开覆盖，且它们都同胚于E1（例如，p｜（-∞，1）：（-∞，1）→p（-∞，1）是同胚映射）．这样前半结论得证．
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记x＝p（-1），y＝p（1），U，V是它们的任意一对开邻域，则p-1（U），p-1（V）分别是含-1，1的开集，存在ε＞0，使得（-1－ε，-1＋ε）⊂p-1（U），（1－ε，1＋ε）⊂p-1（V）．于是p（-1－ε，-1）＝p（1，1＋ε）⊂U∩V，从而U∩V≠∅．
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5．设M是n维流形，x∈M，U是x的开邻域．设W是x的一个同胚于En或的开邻域．由的性质知，W中存在x的紧致邻域F⊂W∩U．记则x∈V，且V是W的开集，从而也是M的开集．又因为M是Hausdorff空间，F是M的闭集．于是在M中，x∈V，
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7．设x是n维流形M的一个内点（流形的意义），则x有一个开邻域于是U的每一点也都是M的内点（流形的意义），从而x是M内部（流形意义）的子集意义下的内点．
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§4
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1．（1）3P2；（2）4P2；（3）2T2；（4）6P2．
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2．（1）（m＋n）T2；（2）（m＋n）P2；（3）（2m＋n）P2型．
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