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4．．记H∶X×I→Y连结f及一个常值映射，则H把X×｛1｝映为Y的一点，因而H诱导连续映射F∶CX→Y，它限制在X上为f．
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．记F∶CX→Y为f的扩张，p∶X×I→CX是粘合映射，则H＝pF∶X×I→Y是连结f及一个常值映射的同伦．
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5．记F是a到b的定端同伦，规定G＝fF，则G是fa到fb的定端同伦．
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6．．记H∶I×I→X是fp到gp的定端同伦，则它把｛0，1｝×I映为一点x0．规定G∶S1×I→X为G（ei2πt，s）＝H（t，s），则G（1，s）＝x0，∀s∈I，并且G（ei2πt，0）＝H（t，0）＝fp（t）＝f（ei2πt），同理G（ei2πt，1）＝g（ei2πt），即
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．若作H∶I×I为H（t，s）＝G（ei2πt，s），则H是fp到gp的定端同伦．
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8．用反证法．假设f没有不动点．规定S1上的对径映射为h∶S1→S1，即h（z）＝-z，∀z∈S1．因为∀z∈S1，f（z）≠z＝-h（z），由例2知而h与id同伦（请读者自证），从而与条件相违，故f无不动点．
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§2
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1．当X是平凡拓扑空间时，任何映射f∶Y→X都连续．于是X中任何两条有相同起终点的道路都定端同伦，于是π1（X，x0）只有一个元素．
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2．离散拓扑空间的每个道路分支都是单点集，从而它的道路都是点道路，以x0为起终点的闭路就只有一条，从而π1（X，x0）只有一个元素．
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3．理由同第2题．
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5．因为rπiπ＝（ri）π是恒同，得结论．
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6．是闭路，X单连通，则定端同伦于点道路e，于是
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