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7．∀α∈π1（X，x0），ω-1αω＝ω′-1αω′
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∀α∈π1（X，x0），αωω′-1＝ωω′-1α．
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8．．∀α，β∈π1（X，x0）．取ω，ω′是x0到x1的两个道路类，使得ωω′-1＝β．由于得到αβ＝βα（见上题）．
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．设ω，ω′是x0到x1的两个道路类，则就有ωω′-1∈π1（X，x0）．于是，∀α∈π1（X，x0），αωω′-1＝ωω′-1α．再由上题，得
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§3
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1．记a0∶I→S1为a0（t）＝ei2πt，b0∶I→S1为b0（t）＝-ei2πt＝f（a0（t）），则〈a0〉和〈b0〉分别生成π1（S1，1）和π1（S1，-1），并且fπ（〈a0〉）＝〈b0〉．
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2．a0如上题，则fπ（〈a0〉）＝〈a0〉n．因为π1（S1，1）由〈a0〉所生成，所以∀α∈π1（S1，1），有fπ（α）＝αn．（若用加法记号，则可表示为fπ（α）＝nα．）
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3．用§1的习题6．
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4．用上题，分别在左右两个圆周上构造relx0的同伦，拼成所要的同伦．
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5．平环同胚于S1×I，用定理4.4．
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7．取ε＞0，使得则它的边缘A＝｛y∈E2｜d（x，y）＝ε｝是U｛x｝的收缩核，并且所以A不单连通．再用§2习题5的结果，推出U｛x｝不单连通．
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§4
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3．要证明两方面：（1）f的任何两个同伦逆g1，g2互相同伦，（2）当g是f的同伦逆时，与g同伦的任何映射g′也是f的同伦逆（请读者自证）．
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4．设Y道路连通，记f∶X→Y是同伦等价，g∶Y→X是f的同伦逆，则∀x∈X，x与gf（x）在X的同一道路分支中．又因为Y道路连通，所以g（Y）是X的道路连通子集，从而∀x1，x2∈X，gf（x1）与gf（x2）在X的同一道路分支中．综上所述，X中任何两点在同一道路分支中，从而X道路连通．
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5．设f∶X→Y是同伦等价，g为f的同伦逆．由于f把的道路分支映入Y的一个道路分支，可规定fπ∶π0（X）→π0（Y）如下：∀α∈π0（X），fπ（α）是Y的包含f（α）的道路分支．用同法可规定gπ∶π0（Y）→π0（X），并不难验证gπfπ与fπgπ都是恒同．
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