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4．设Y道路连通，记f∶X→Y是同伦等价，g∶Y→X是f的同伦逆，则∀x∈X，x与gf（x）在X的同一道路分支中．又因为Y道路连通，所以g（Y）是X的道路连通子集，从而∀x1，x2∈X，gf（x1）与gf（x2）在X的同一道路分支中．综上所述，X中任何两点在同一道路分支中，从而X道路连通．
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5．设f∶X→Y是同伦等价，g为f的同伦逆．由于f把的道路分支映入Y的一个道路分支，可规定fπ∶π0（X）→π0（Y）如下：∀α∈π0（X），fπ（α）是Y的包含f（α）的道路分支．用同法可规定gπ∶π0（Y）→π0（X），并不难验证gπfπ与fπgπ都是恒同．
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6．设都是收缩映射，满足（i1，i2都是包含映射），则i1i2∶B→X是包含映射，r2r1∶X→B是收缩映射，并且
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7．设r∶X→B是收缩映射，满足设r′∶X→A是收缩映射，记r1＝r｜A∶A→B，i1∶B→A是包含映射．设H∶X×I→X是ir到id的同伦，则r′H｜A×I→A是i1r1到idA的同伦．
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8．设r∶X→X0是收缩映射，则可规定r1∶X→X1为
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则r1是收缩映射．用上题结果，推出X0是X1的形变收缩核．
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9．取y0∈Y，则｛y0｝是Y的形变收缩核，从而把Y的每一点都映为y0的常值映射设f，g∶X→Y是两个连续映射，则
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10．设a0是沿着A走一圈的x0处的闭路，则〈a0〉生成π1（A，x0），但在X中，〈a0〉是一生成元的两倍．
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11．若有收缩映射r∶X→A，则rπ∶π1（X）→π1（A）是满同态，从而（由rπ是同构．又因为rπiπ是恒同，得出iπ是同构，与10题结论矛盾．
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12．作r∶Dn｛x0｝→Sn－1｛x0｝如下：∀x∈Dn｛x0｝，r（x）是射线x0x与Sn－1的交点．利用例5前的说明，知Sn－1｛x0｝是Dn｛x0｝的形变收缩核（Dn｛x0｝是凸集）．
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