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4．c至少有两个重心坐标大于0，因而不是顶点．
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6．必要性 （1）就是K是复形的条件之一，下面证（2）．设是K中两个不同单形，则它们规则相处．于是，如果它们有交点，则是它们的公共面，一定是某一个的真面（否则不妨设是的真面，于是与不相交．
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充分性 只须证K中任何两个单形与规则相处．如果它们有交点，则任一交点x，它一定是的某个面的内点，也一定是的某个面的内点．由条件（2）知记是和的公共顶点所张单形，则从而不难看出
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9．（1）（3） 如果K1不连通，则K1可分成两个非空不相交子复形L1和L2之并．于是它的顶点或全在L1中，或全在L2中，由此把K的单形分为两类，分别记作K1和K2，不难验证K1和K2是不相交的非空子复形，且K＝K1∪K2．这与K连通矛盾．
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（3）（2） 如果｜K｜不连通．设它分成两个不相交闭集X1与X2之并．K中每个一维单形或在X1中，或在X2中，由此将K1中单形分为L1和L2两部分，不难验证L1与L2都是K1的非空子复形，且L1∪L2＝K1，L1∩L2＝∅，这与K1连通矛盾．
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（2）（1） 如果K不连通．设K＝K1∪K2，K1和K2都是K的非空子复形，且K1∩K2＝∅．则｜K｜＝｜K1｜∪｜K2｜，且｜K1｜∩｜K2｜＝∅，这与｜K｜连通矛盾．
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10．设是K的一个维数大于2的极大单形（它不是K中别的单形的面）．则由Van-Kampen定理不难得到
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仍是连通复形，逐个去掉K中所有大于2维的单形，得到本题结论．
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