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§1
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1．如果Sn－1是Dn的收缩核，则包含映射i∶Sn－1→Dn诱导的各维同调群的同态都是单的．但显然i*（n－1）∶Hn－1（Sn－1）→Hn－1（Dn）不是单的．
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2．见第四章§5的习题8的解答．
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3．设X＝f（Dn），则并且f-1∶X→Dn与包含映射i∶Dn→X的复合映射if-1∶X→X一定有不动点，它也就是f的不动点．
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4．如果f不满，设x0∈Dnf（Dn），则否则f0零伦，从而deg（f0）＝0．于是有收缩映射r∶Dn｛x0｝→Sn－1．于是f0＝r（f｜Sn－1）．由此不难得出（f0）*（n－1）是平凡的，从而deg（f0）＝0．
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5．（1）如果f无不动点，则f同伦于对径映射，如果∀x∈Sn，f（x）≠-x，则于是对径映射同伦于id．而当n为偶数这是不可能的．
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（2）f2的映射度非负，从而f2不同伦于对径映射，它必有不动点．
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§2
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1．作g∶Sn→Sn为
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则g是保径映射，deg（g）是奇数．不难证明从而deg（f）＝deg（g）是奇数．
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2．不妨设Sn＝｜Σn｜，X＝｜K｜，K为一个复形．类似于引理1的证明，可构造f的单纯逼近φ∶（Σn）（r）→K，使得∀a∈（（Σn）（r））0，φ（a）＝φ（-a），则φ*n＝φn．不难验证，φn（Zn（（Σn）（r）））⊂2Zn（K），当n为奇数时，φn＝0．
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3．第2题的直接应用．
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4．本题的方法类似于第1题，作g（x）＝（f（x）＋f（-x））/‖f（x）＋f（-x）‖．
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5．如果m＞n，设i∶Sn→Sm是包含映射，则if是保径映射，但又不满，从而deg（if）＝0，矛盾．
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§3
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1．因为f*q是同伦不变量，所以tr（f*q）以及用它们规定的L（f）都是同伦不变量．
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2．不难看出L（id）＝χ（K）≠0，从而L（f）≠0．
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3．Hq（P2，R）＝0，∀q＞1．于是对任何连续映射f∶P2→p2，L（f）＝1，从而f有不动点．
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