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与此同时，数字和计数法在人们生活中也变得日益重要。商人将数字和计数法用于记账、财务和预算，宗教机构用它们记录年代、季节和生死嫁娶等，而政府官员将其用于人口普查、土地测量和税收［3］。这样就产生了发明符号来表示数字和数量的需求［4］。公元3世纪，希腊数学家丢番图更进一步，他采用符号代表未知量 ，并给出了操作这些量的方法，包括加减。他不仅说明了如何用符号表示未知数，以便通过已知数将其求出（对应于定方程），还指出符号可以描述无穷多解的情形（对应于丢番图方程，或称不定方程）。不过这与现代的方程思想仍相去甚远。甚至连伽利略和牛顿在表述他们各自的重要结果，即伽利略自由落体定律和牛顿运动定律时，也仍旧采用文字叙述的方式来表示比例，而不是采用如今理科生都很熟悉的方程。直到18世纪，自然科学家们才普遍采用我们今天所熟知的方程形式来表述他们的结论。
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因此，即使要写出最简单的方程，也得经历一番概念形成的发展历程。1910年，历史上两位著名的数学家，阿尔弗莱德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）和伯特兰·罗素（Bertrand Russell）出版了著名的三卷系统教科书《数学原理》（Principia Mathematica）。该书以纯逻辑方式从头推导出了数学的基础。即便要找到1＋1＝2这样一个简单的方程，也得翻到第一卷的后半部分去［5］！
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经过这段漫长的历程，“方程”一词最终才有了专业的意义，成为特殊人造语言的一部分。用它可以描述两个相同的量，或者两个相同的可测量集合（严格地说，表述不相等关系的不等式不能算作方程）。这种像密码一样的人造语言对于现代数学和科学是不可或缺的。这种语言的符号代表了其他事物的集合。我们可以对这些符号进行各种操作，最简单的是加减乘除。［6］
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在这种特殊的专业语言发明之后，每个方程都具有两种不同类型的变形。它是由最初将方程引入人类文明的人发现的。自此以后，所有学习过方程的人都会发现这一点。
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方程的发现背景与历史上其他转折点的发生背景不同。在血腥的战场和激烈的政治冲突中是不会有方程出现的。它的出现需要不受世事纷扰的安静环境，比如书房或图书馆。麦克斯韦在书房中写出了他革命性的方程；海森堡则在孤岛上将点滴碎片统一了起来。科学家在这样的环境里可以设法消除不满足感，对付痛苦。这种痛苦的出现是因为手头的点滴碎片不能很好地统一起来，而需要作出调整或者加入新元素。如此一来，科学家就可以把精力集中到某些描述得很简单，其实迷惑性却很强的问题上。例如，直角三角形某条边的长度是多少？天体之间引力的大小是多少？电是如何流动的？一对看似矛盾的理论可以被统一起来吗？这些有意义吗？
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只要答案一出现，它似乎就是符合逻辑的，甚至是必然的。罗杰·科茨（Roger Cotes）曾在牛顿的大作《自然哲学的数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）第2版的前言中写道，该工作“得到了广泛的认同”［7］。发现者往往是偶然发现了业已存在的事实。这些方程就像宝藏，在尚未成形时被有洞察力的科学家发现。科学家随后对它进行研究，最后放到知识的大宝库中去，从此代代相传。这种方法对于呈现科学发现极为方便，多为教科书所采用，不妨称为宇宙藏宝图。这张图为我们一一展现了发现方程的艰难历程，以及方程的发明者、发现时间和地点，通常还有起因和目的等。有时候，一个很长的发现历程经过提炼后，会浓缩成某个事件，例如苹果的下落。历代学者在批评这种模式和完善这张图的过程中赚足了名声。看来“藏宝图”真是对人人都有益！
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但是不管宇宙藏宝图多么有用，这些方程也不过是对宇宙基本特征的描述，而不是人类的创造。的确，我们降生到这个世界之前，这些方程就已经存在了。这也正是方程有时看似并非由人力产生的原因。据说，方程很早以前就存在了，创世第八天，上帝创造了方程，以它们作为工作的蓝图。正如伽利略所写的那样，“自然之书”就是用数学符号写成的。
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但是所有的方程又都有人的参与。每个方程都是由特定的人，在特定的时间和地点提出来的。他感到有必要对手头上不令人满意的资料进行解释，不过有时可能仅是为了使过于复杂的知识变得更容易理解一些。这种创新的过程有时候是隐含在过去的资料中的，例如毕达哥拉斯定理［8］早在毕达哥拉斯之前很早就已为人所知。还有些时候，多亏有方程发明者的信件、手稿和笔记，我们才能了解到创新过程的细节，牛顿和爱因斯坦提出的方程就是如此。但不管是哪一种情况，任何一个方程的发现，都不能归功于某一个人。因为哪怕科学家是一个人独立工作的，他也需要与同行进行充分的对话交流，来共同理解和解释世界。
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当英国科学家奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）把麦克斯韦的工作整理成现在人们所熟知的形式——现在所谓的“麦克斯韦方程”时，他说自己只是想要试着更清楚地理解麦克斯韦的工作。这种动机——想要更好地表述已知的，但并不是特别明白的东西，可以说是所有方程提出者的共性。
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在有人针对基本问题提出新方程，解决了自己之前的不满意之处后，人们和世界也会随之改变。这些方程并非只是告诉人们如何去做计算，或者仅仅是作为新增的工具，它们有着更加深远的意义。就像哈里森所指出的那样，他的儿子学习1＋1＝2之后，并非仅仅输入一个新数据点，而是通过这种学习，孩子对世界有了更加深入的把握。当然，伴随着这种把握而来的还有迷惑和新的不满足［9］。
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最后，哈里森告诉人们方程可以激发好奇心。科学研究不是我们冷眼看世界的活动，而是一种很微妙的情感生活方式。获得新发现或取得新成绩，谁都会高兴雀跃，加以庆祝，这是很自然的。但如果做科研的人只想着高兴，把科学发现作为获取功名的手段，那就大错特错了。功成名就不仅人数寥寥可数，而且实现起来也是遥遥无期。幸运的是，科学所涉及的情感要广泛而深厚得多。科学研究的过程就是时时刻刻表露情感的过程——疑虑、困惑、好奇、渴望和想要找到答案的迫切心情，进展停滞时的厌倦情绪和挫败感，以及进入正轨后的激动心情。这样的情绪是时刻存在着的，又并非隐藏在内心深处，常常会被疏忽，不过只要稍加留意就会发现它们的存在。
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人们一旦理解了某个重要方程，就能窥见比我们感知的更深层面上的世界结构，揭示世界本身与人们经验之间的深层联系。这种时刻，人们的反应并不仅仅是“对，可以理解了”，更常听到的则是“啊哈，原来如此”。后一种是伴随着知识藏宝图的获得而来的，它把获得发现后的情感简化和浓缩成了一个瞬间。而真正的情感——好奇心，则更加细腻、丰富和持久。
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当科学家专注于世界，对世界产生兴趣时，他们会很自然地失去对于方程的好奇心，不再那么注意当初公布发现的方程时的情景。的确，人们对于自己非常熟悉的仪器或事物常会失去好奇心。方程可能被看作是人们了解和发现世界的工具，也可能被看作是不得不学的烦琐事物。
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马克·吐温（Mark Twain）在《密西西比河上的生活》（Life on the Mississippi）一书中写道，领航员对船越来越熟悉，却常常需要经历一种令人遗憾的转变。随着对河流解读技术的增长，他们慢慢地不再感受得到河流的美丽和诗情画意。漂浮着木筏的河面，水面上的倾斜标记，还有一片片的水纹，曾一度激起他们的好奇和敬畏。如今，他们对河的欣赏却越来越机械，河的用处好像只是领航。人们看待方程的态度也是这样。
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不过大科学家依旧能够对前人的重大发现保持好奇心。物理学家弗兰克·维尔泽克（Frank Wilczek）曾写了一系列的文章，用简单方程对牛顿第二运动定律F＝ma进行表述。他将该定律称为“经典力学的灵魂”，并用一种人们容易理解和接受的方式去呈现它［10］。物理学家和宇宙学家钱德拉塞卡尔（Subrahmanyan Chandrasekhar）曾针对牛顿的《自然哲学的数学原理》专门写了一本书（牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了他的第二运动定律），认为该书可与西斯廷教堂天顶的米开朗基罗画相媲美。理查德·费曼的《物理学讲义》的一位听众发现，费曼在教学生方程的讲解中充满无所畏惧的、主动的好奇心。这三位诺贝尔奖获得者非常清楚应该如何保持对于世界和方程的好奇心。好奇心是了解和认识世界的大门。
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本书旨在说明方程的深刻含义，告诉读者它们不只是简单的工具。方程与其他人类智慧的结晶一样，有着重要的社会意义，可产生文化力量。本书选取了一些重要方程，扼要介绍了它们的发现者、发现的缘起以及它们怎样解读世界的本质。
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［1］ 严格来说，1＋1＝2并不是方程，只是一个等式，此处是为了与书名呼应。本书的主题讲的是“equation”，它既指方程，也指等式、公式。——编者注
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［2］ 有一个事实是，星座并不是固定不变的。太阳和恒星在经过星系的时候，在不同的时间有时经过的是完全不同的星系，而并非报纸上的黄道十二宫图宣称的日期。但现代天文学家似乎并没有受到什么影响，甚至对此完全无视。看来需要有人撰文指出他们的失职了。
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［3］ 参见伯纳德·科恩的《数字的胜利：计数法如何塑造现代生活》（The Triumph of Numbers: How Counting Shaped Modern Life）（纽约：诺顿出版公司，2005）
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［4］ 这样一来就得采用符号表示数字和其他事物。古埃及人、巴比伦人和希腊人分别发明了不同的数字和数量表示法。当时的很多古代数学家就是通过研究特定情形的解，然后让读者将其一般化的。例如，公元前1650年著名的埃及手稿——《林德手卷》（Rhind papyrus）中就有了基本方程的雏形。这些雏形都是基于实例的，计算了三角形、矩形和圆形的面积，以及三棱锥和圆柱体的体积。手稿还给出了许多实际问题的解，其中有如何确定不同密实度的面包块与不同量的大麦之间的等量关系。手稿甚至还讨论了没有实际意义，但在概念上却很重要的代表性问题，例如这样一个问题：“有7间房子，每间房子里有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，每只老鼠吃了7粒大麦，每粒大麦又能产出7‘hekat’［11］大麦。问上面列出的所有都加起来是多少？”此后又出现了许多该问题的不同版本，如古斯大妈的“来自圣艾夫斯的人”。这个人有7个老婆，每个老婆有7个袋子，每个袋子里有7只猫，每只猫又生出7只小猫。希腊人在方程中采用象形文字作为符号。象形文字就像人的两条腿一样。做加法时，“两条腿”沿着书写的方向走；做减法时，“两条腿”沿着相反的方向走。
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［5］ 参见怀特海德和罗素，《数学原理》，第1卷，（剑桥：剑桥大学出版社，1957），第362页：“从该命题出发，就能定义算术的加法，即1＋1＝2。”
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［6］ 如今有几种不同的方程分类法。一种是按方程的次数分类，也就是按最大的指数项分类。线性方程之所以被称为“线性”，是因为它描述的是线（如4x＋3y＝11和y＝2x＋1）。因为未知数x和y上没有标明次数，所以都是一次方的。如果把未知数平方，则方程就变成二次方的；如果把未知数立方，则方程就变成三次方的；以此类推就能得到四次方、五次方和六次方的方程。如果方程的解不是数字，而是包含微商的函数，该方程称为微分方程。
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［7］ 参见牛顿的《自然哲学的数学原理》一书，伯纳德·科恩和安妮·惠特曼译（伯克利：加利福尼亚大学出版社，1999年），第391页。
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［8］ 中国称作勾股定理。——编者注
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［9］ 人们由此出发比较了方程和诗。这两者对于语言的运用都超越了常人的水平，以期能够简明准确地传达出真实来。这样一来，原本难以理解的东西，就变得清楚了。经过这个过程，人们的体验感受会发生变化。迈克尔·季伦（Michael Guillen）在Five Equations that Changed the World: The Power and Poetry of Mathematics一书中写道，方程“以独特的精确性描述事实，以极其简明的语言传达出大量的信息。外行一般很难理解它的”。季伦还写道：“传统诗歌让人们看清自己的内心，数学之诗则让人们的认识超越自我。”《天地有大美》（It Must Be Beautiful: Great Equations of Modern Science）一书的编辑格雷姆·法米罗（Graham Farmelo）也把方程与诗歌做了比较。他认为，虽然两者中有很多单独项是没有特指的，但它们都是人们在认识世界的过程中抽象出来的。法米罗还写道，“诗歌是最精确语言的高度浓缩”，而方程是“在物理现实层面理解世界的最简洁形式”。
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