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直到今天，毕达哥拉斯定理仍旧是整个数学中最重要的一个。
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——J. 布罗诺斯基（J. Bronowski），《文明的跃升》（The Ascent of Man）
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毕达哥拉斯定理的发现过程已经无法考证了，不过关于该定理的二次发现却有数不清的故事。故事的主角有些是该定理的教授者，有些是发现该定理的人。毫不夸张地说，这些故事有时候改变了这些发现者的命运和职业生涯。毕达哥拉斯定理的魔力在于：虽然定理本身比较复杂，并不显而易见；但证明的过程却是高度浓缩的，也是一种独特的体验。
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受毕达哥拉斯定理影响而改变人生轨迹的人当中，有一位著名的政治哲学家，叫做托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）（1588—1679年）。40岁之前的霍布斯虽有天分，却没有什么原创性的思想。他擅长人文，却以为自己算不上博学。他的主要成就是漂亮地翻译了古希腊历史学家修昔底德的著作。译作里虽不时会出现讹误，不过都还无伤大雅。虽然在霍布斯的时代，开普勒、伽利略和其他一些人已经作出了一些激动人心的重大突破，引爆了学术界的革命，不过霍布斯本人却基本没怎么接触科学。
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一天，霍布斯在路过一位熟人的藏书室时，发现桌子上有一本摊开的欧几里得的《几何原本》（Elements）。这在当时不足为奇。那时候的绅士，如果能收藏一卷体面昂贵的重要作品（如圣经），往往不会将其束之高阁，而是放在外边让来访者随意浏览。通常他们还会将书摊开放，以展示其中著名的章节，如圣经中的赞美诗。
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欧几里得的《几何原本》就是一本圣经。它以定理和假设的方式展示了当时已有的大部分数学知识。这本书自公元前300年问世以来，学者们就一直没有中断过对它的分析和研究，书中的内容在霍布斯的时代仍旧适用。那时，《几何原本》是除圣经之外，流传最广、人们研究最多的书。霍布斯所看到的章节正是第1册的命题47，毕达哥拉斯定理。
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命题的内容是：直角三角形斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。霍布斯看到这个命题时非常惊讶，甚至说出了亵渎神灵的话来。以至于他的朋友、第一个为他写传记的作家约翰·奥布里（John Aubrey）没有把霍布斯当时所说的话全写出来——“老天爷（作证），”霍布斯发誓说，“这不可能！”［1］
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霍布斯来了兴致，继续读了下去。循着命题47，他又去看了书中的其他命题：命题46、14、4和41。而这些命题又引用了其他命题。霍布斯一一读完，最后很快就确信，起初看似惊人的定理是正确的［2］。
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奥布里写道：“从此霍布斯就爱上了几何学。”这表明霍布斯的人生轨迹也随之发生了改变，他迷上了绘制几何图形，在床单甚至自己的大腿上作演算。他全身心地投入到数学中，并显示出一定的天分。不过他的数学能力还只能算是中等。霍布斯还卷入了数学纷争，他在那些无望的数学圣战中所表现出来的态度，至今还让他的一些传记作者和“粉丝”觉得难堪［3］。这些事情并没什么意思。重要的是一个定理就使霍布斯和他自己的学识发生了转变。有一位批评家这样描写霍布斯与毕达哥拉斯定理的第一次邂逅：“他以后的思想都因毕达哥拉斯定理而发生了改变。”［4］
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于是，霍布斯开始批评当时的道德和政治哲学家，认为他们缺乏严密的思维，受前人的影响太深。他还不合时宜地将这些哲学家与数学家进行比较，认为数学家工作虽然做得慢一些，却是从人人都明白和接受的“最低原理”出发的。在《利维坦》（Leviathan）等书中，霍布斯开始用类似的方式重建了政治哲学。他先是清晰、准确地给出术语的定义，之后依次推导出它们的深层含义。霍布斯从毕达哥拉斯定理中学到了新的推理方法，以及如何令人信服地呈现由推理得出的结论。这些推理方式既是必要的，也是通用的。
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毕达哥拉斯定理：法则
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人们普遍用“毕达哥拉斯定理”一词来指代两种情形：一个是法则，另一个是证明。法则叙述的仅仅是事实，说明直角三角形各边长之间的等式关系：斜边长度的平方（c2）等于另两边长度的平方和（a2＋b2）。该法则有实际的价值，例如，如果人们已知三角形两直角边的长度，就能利用该法则计算出斜边的长度。不过证明就不同了，它陈述的是人们如何知道某个事实是正确的。
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这种双重涵义所带来的意义上的混乱，全是因为“定理”一词。该词可以表示已经（或人们认为能够）被证明的结论。它来自希腊语，意思是“看”或者“考虑”，与“剧院”（theater）一词的词根相同。霍布斯等人第一眼看到毕达哥拉斯定理之后，注意到两件截然不同的事情：一个是结果、法则或者被证明的事物——斜边定律；另一个就是证明过程，即人们了解证明的途径。
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毕达哥拉斯定理极其重要，它对描述空间起着至关重要的作用。木匠、建筑师和测绘师在建设小型和大型工程时都离不开它。石匠会（据说是源自中世纪石匠工会的秘密组织）将毕达哥拉斯定理作为标志，也是因为这个原因。有篇石匠资料引用了毕达哥拉斯定理，认为它“包括或代表了砖石建筑和文化的基础”。在共济会的地毯上常常绣着简化版的欧几里得图形证明（称为“经典形式”）。它还适用于天体空间，因而对航海学和天文学非常重要。
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早在欧几里得之前，甚至毕达哥拉斯之前，毕达哥拉斯定理就已经存在了。古代的工匠就通过经验发现，直角三角形的三条边的长度是由特定的数组构成的，例如3、4和5或者6、8和10。这些三元数组称为“毕达哥拉斯三元数组”。它们虽然简单，却有着重要的实际意义。因此不同国家地区的人们各自独立地得出这一发现也就不足为奇了。古代的另一个发现就是这些三元数组之间存在着c2＝a2＋b2的关系。公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元数组组成的表。这块泥板现收藏在哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton 322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具。表中不包括变量，不过似乎是在通过一系列的例子对定理进行验证［6］。
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古印度人也已经知道这个定理。从《绳法经》（Sulbasūtras）一书中可以找到它的应用。该书与佛经同时问世，约成于公元前500年到公元前100年，不过它所传授的知识却是更早以前的了。虽然该书的表达常常是不正式的、粗糙的，也没有提供什么证明，但它却为宗教建筑的建造提供了相当多的几何知识［7］。
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中国现存最早的有关天文学和数学著作是《周髀算经》。书中的文字可以追溯到公元前1世纪，而书中的内容据说还要早几个世纪。该书也包含了毕达哥拉斯定理的内容。这一定理的一个应用实例是计算太阳与地球之间的距离。推理的过程涉及了竹竿和竹竿的影子，并假定地球是平的。历史学家认为《周髀算经》之所以著名，是因为它“第一次从理性的角度，完全以数学的形式解释了地平说”。［8］现存最早版本的《周髀算经》中有一张常以棋盘为背景出现的图。从该图上可以清楚地看到以斜边为边长的正方形面积等于以另两边为边长的正方形面积之和。不过，几乎可以确定，这幅图源自公元3世纪，远在欧几里得之后。
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公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元组组成的表。这块泥板现收藏于哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton 322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具
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《周髀算经》最新版本中的图，汉字指的是正方形的颜色
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毕达哥拉斯定理作为数学知识一部分，在巴比伦人的泥板、印度的《绳法经》和中国的《周髀算经》中，都是以实际应用的形式展现出来的：普林顿322号是出于教育的考虑，《绳法经》是出于宗教的考虑，《周髀算经》则是出于天文研究的考虑。古书都没有给出该定理的直接明确的证明，而只是把它作为一种计算距离、验证结果的方法。不过形式偶尔还是有严谨的时候。
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毕达哥拉斯定理在数学上众多的里程碑中无疑是独一无二的。它的表现形式丰富多彩，平淡中包含诗意。在几千年的历史长河中，它被用于土地丈量、运河开挖、晾衣绳搭设、人行道铺设、马路和沟渠建造等诸多方面。有一篇埃及的手稿这样写道：“塔上倚着一个梯子，梯子长10腕尺［9］，底部离墙6腕尺，问梯子有多高。”还有一篇中世纪时的手稿是这么写的：“墙上倚着一个长20英尺（1英尺＝30.48厘米）的矛，如果矛的底部向外移动12英尺，那么此时矛在墙上所倚的高度是多少？”印度的书是要读者计算池塘的深度，池塘上还有红鹅游来游去。问题是这样的：荷花苞尖一开始在水面之上9英寸（1英寸＝2.54厘米）的位置，突然刮来一阵风，荷花苞尖被吹到了水下40英寸的位置，问池塘的深度是多少？当然，荷花的茎是扎在水底的。这样的问题使数学变得有趣。
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毕达哥拉斯定理已经成为人类知识的典范，对它的了解体现了人类的智慧。在电影《绿野仙踪》（Wizard of Oz）的结尾，为了证明自己的确有头脑了，稻草人（Scarecrow）笨手笨脚地将这条定理加以改编：“等腰三角形任意两边的平方根之和等于另一边的平方根。”这种轻率的陈述真是绝了，我们作为观众自然也不会去学。就让它一直留在童话里吧。
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