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奥布里写道：“从此霍布斯就爱上了几何学。”这表明霍布斯的人生轨迹也随之发生了改变，他迷上了绘制几何图形，在床单甚至自己的大腿上作演算。他全身心地投入到数学中，并显示出一定的天分。不过他的数学能力还只能算是中等。霍布斯还卷入了数学纷争，他在那些无望的数学圣战中所表现出来的态度，至今还让他的一些传记作者和“粉丝”觉得难堪［3］。这些事情并没什么意思。重要的是一个定理就使霍布斯和他自己的学识发生了转变。有一位批评家这样描写霍布斯与毕达哥拉斯定理的第一次邂逅：“他以后的思想都因毕达哥拉斯定理而发生了改变。”［4］
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于是，霍布斯开始批评当时的道德和政治哲学家，认为他们缺乏严密的思维，受前人的影响太深。他还不合时宜地将这些哲学家与数学家进行比较，认为数学家工作虽然做得慢一些，却是从人人都明白和接受的“最低原理”出发的。在《利维坦》（Leviathan）等书中，霍布斯开始用类似的方式重建了政治哲学。他先是清晰、准确地给出术语的定义，之后依次推导出它们的深层含义。霍布斯从毕达哥拉斯定理中学到了新的推理方法，以及如何令人信服地呈现由推理得出的结论。这些推理方式既是必要的，也是通用的。
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毕达哥拉斯定理：法则
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人们普遍用“毕达哥拉斯定理”一词来指代两种情形：一个是法则，另一个是证明。法则叙述的仅仅是事实，说明直角三角形各边长之间的等式关系：斜边长度的平方（c2）等于另两边长度的平方和（a2＋b2）。该法则有实际的价值，例如，如果人们已知三角形两直角边的长度，就能利用该法则计算出斜边的长度。不过证明就不同了，它陈述的是人们如何知道某个事实是正确的。
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这种双重涵义所带来的意义上的混乱，全是因为“定理”一词。该词可以表示已经（或人们认为能够）被证明的结论。它来自希腊语，意思是“看”或者“考虑”，与“剧院”（theater）一词的词根相同。霍布斯等人第一眼看到毕达哥拉斯定理之后，注意到两件截然不同的事情：一个是结果、法则或者被证明的事物——斜边定律；另一个就是证明过程，即人们了解证明的途径。
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毕达哥拉斯定理极其重要，它对描述空间起着至关重要的作用。木匠、建筑师和测绘师在建设小型和大型工程时都离不开它。石匠会（据说是源自中世纪石匠工会的秘密组织）将毕达哥拉斯定理作为标志，也是因为这个原因。有篇石匠资料引用了毕达哥拉斯定理，认为它“包括或代表了砖石建筑和文化的基础”。在共济会的地毯上常常绣着简化版的欧几里得图形证明（称为“经典形式”）。它还适用于天体空间，因而对航海学和天文学非常重要。
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早在欧几里得之前，甚至毕达哥拉斯之前，毕达哥拉斯定理就已经存在了。古代的工匠就通过经验发现，直角三角形的三条边的长度是由特定的数组构成的，例如3、4和5或者6、8和10。这些三元数组称为“毕达哥拉斯三元数组”。它们虽然简单，却有着重要的实际意义。因此不同国家地区的人们各自独立地得出这一发现也就不足为奇了。古代的另一个发现就是这些三元数组之间存在着c2＝a2＋b2的关系。公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元数组组成的表。这块泥板现收藏在哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton 322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具。表中不包括变量，不过似乎是在通过一系列的例子对定理进行验证［6］。
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古印度人也已经知道这个定理。从《绳法经》（Sulbasūtras）一书中可以找到它的应用。该书与佛经同时问世，约成于公元前500年到公元前100年，不过它所传授的知识却是更早以前的了。虽然该书的表达常常是不正式的、粗糙的，也没有提供什么证明，但它却为宗教建筑的建造提供了相当多的几何知识［7］。
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中国现存最早的有关天文学和数学著作是《周髀算经》。书中的文字可以追溯到公元前1世纪，而书中的内容据说还要早几个世纪。该书也包含了毕达哥拉斯定理的内容。这一定理的一个应用实例是计算太阳与地球之间的距离。推理的过程涉及了竹竿和竹竿的影子，并假定地球是平的。历史学家认为《周髀算经》之所以著名，是因为它“第一次从理性的角度，完全以数学的形式解释了地平说”。［8］现存最早版本的《周髀算经》中有一张常以棋盘为背景出现的图。从该图上可以清楚地看到以斜边为边长的正方形面积等于以另两边为边长的正方形面积之和。不过，几乎可以确定，这幅图源自公元3世纪，远在欧几里得之后。
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公元前1800年，巴比伦人的楔形文字泥板上就已经有了由15行毕达哥拉斯三元组组成的表。这块泥板现收藏于哥伦比亚大学，称为普林顿322号（Plimpton 322）。毫无疑问，该表是三角学的表，也可以说是按照法则计算直角所对斜边的教学辅助工具
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《周髀算经》最新版本中的图，汉字指的是正方形的颜色
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毕达哥拉斯定理作为数学知识一部分，在巴比伦人的泥板、印度的《绳法经》和中国的《周髀算经》中，都是以实际应用的形式展现出来的：普林顿322号是出于教育的考虑，《绳法经》是出于宗教的考虑，《周髀算经》则是出于天文研究的考虑。古书都没有给出该定理的直接明确的证明，而只是把它作为一种计算距离、验证结果的方法。不过形式偶尔还是有严谨的时候。
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毕达哥拉斯定理在数学上众多的里程碑中无疑是独一无二的。它的表现形式丰富多彩，平淡中包含诗意。在几千年的历史长河中，它被用于土地丈量、运河开挖、晾衣绳搭设、人行道铺设、马路和沟渠建造等诸多方面。有一篇埃及的手稿这样写道：“塔上倚着一个梯子，梯子长10腕尺［9］，底部离墙6腕尺，问梯子有多高。”还有一篇中世纪时的手稿是这么写的：“墙上倚着一个长20英尺（1英尺＝30.48厘米）的矛，如果矛的底部向外移动12英尺，那么此时矛在墙上所倚的高度是多少？”印度的书是要读者计算池塘的深度，池塘上还有红鹅游来游去。问题是这样的：荷花苞尖一开始在水面之上9英寸（1英寸＝2.54厘米）的位置，突然刮来一阵风，荷花苞尖被吹到了水下40英寸的位置，问池塘的深度是多少？当然，荷花的茎是扎在水底的。这样的问题使数学变得有趣。
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毕达哥拉斯定理已经成为人类知识的典范，对它的了解体现了人类的智慧。在电影《绿野仙踪》（Wizard of Oz）的结尾，为了证明自己的确有头脑了，稻草人（Scarecrow）笨手笨脚地将这条定理加以改编：“等腰三角形任意两边的平方根之和等于另一边的平方根。”这种轻率的陈述真是绝了，我们作为观众自然也不会去学。就让它一直留在童话里吧。
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毕达哥拉斯定理：证明
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然而，定理的证明和定理本身有着天壤之别。证明需要从第一原理出发，给出结果的一般有效性。它研究的是定理本身，与定理的实际用途无关。它侧重于结论推导的过程（这样才能令人信服），而非结果。证明所叙述的是人们理解方程的过程。因此，要给出定理的证明，就要以不同视角看待数学，而不能简单地陈述定律。证明不是对权威的维护，而是对真知的认可。证明不是简单地把前人的智慧作为代表作传授下来。恰恰相反，它应该是天才之笔。证明并不是说“事实就是这样”或者“天才告诉我们就是这样的”。相反，对结果的证明是任何人 都可以参与的“旅程”，至少从原则上来说是这样。这得益于人们目前已有的诸多数学定义和数学概念。因此，实际上定理的证明是说：“照着这个做，就能发现其实我们已经 知道了要推出结果的全部步骤！”因此，定理的证明实际上是建立了一个路标，任何人只要循着这个路标指示的路线走下去，就能到达终点。人们可以对此有充分的信心，指导自己踏上更多探索未知的道路。正是有了通过证明关键方程而建立起的路标，数学才从复杂的地貌变成了一幅风景。数学的其他部分仍旧存在，只不过它们是在风景的背景中而已。
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虽然传统上，人们认为斜边定律的第一个证明是毕达哥拉斯（约公元前569—前475年）给出的，不过这个说法是在其后500年首次提出的。其实事实并非如此［10］。该定理的证明思想起源于古希腊时代，经历了几百年才形成的。这一阶段的顶峰是欧几里得的《几何原本》。《几何原本》完全以明确、正式的证明形式把数学呈现出来。第1册的倒数第2个命题就是毕达哥拉斯定理的证明：直角三角形中，直角对边边长的平方等于另两边的平方和。第1册的最后一个证明（命题48）则是其逆定理：如果三角形某条边边长的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。证明如下：沿着三角形的三条边分别画出三个正方形。从直角的顶点出发，垂直于斜边画一条线，并延长到斜边所对应正方形的对边。这样，将大正方形分割成两个矩形，每个矩形的面积就分别等于两个小正方形的面积：两个小正方形的面积之和就等于斜边上的正方形的面积。有趣的是，欧几里得的证明与图中直线构成的图形联想到一起。人们按图形暗示出的有趣形状，把它称为风车证明法、孔雀证明法或花轿证明法。
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说明欧几里得《几何原本》中一个证明的经典图形
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任何一个伟大发现的背后，似乎都有一种难以抑制的冲动：去看看之前是否也有人提出了该发现，或者虽然发现了却没记录下来，或者是与发现擦肩而过。毕达哥拉斯定理（似乎我们注定要这么叫了）也不例外。历史学家发现，人们证明毕达哥拉斯定理的能力似乎是文明进步程度的一种标志。他们根据普林顿322、《绳法经》、《周髀算经》和其他资料，对巴比伦、印度和中国发现毕达哥拉斯定理的情况进行研究［11］。不过在研究过程中，很容易混淆或忽视毕达哥拉斯定理的经验法则和毕达哥拉斯定理的证明两者的不同。
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新证法
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人们有时候会自己踏上“旅程”，去发现毕达哥拉斯定理，而并不依靠教师的帮助。法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）就是这样一个人。帕斯卡的父亲不允许他在家中讨论数学，怕会影响他的希腊语和拉丁语学习，认为语言的学习最重要。但小帕斯卡凭着一根炭笔就开始了几何学的研究。他在欧几里得《几何原本》中找到了许多证明，其中就有毕达哥拉斯定理［12］。