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欧拉公式的故事将帮助对这些问题作出回答。
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数学的分支
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伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）是有史以来最多产的数学家。欧拉选集全部加起来将达75卷。他计算毫不费力，就像“人类呼吸、雄鹰翱翔一样自然”。［2］他有着惊人的记忆力，广泛涉猎各种知识，能一字不落地记下数学用表和维吉尔的《埃涅伊德》（Aeneid）整本。他能看到看似完全不同的数学领域之间的深层联系，并把这些联系表达出来，使结果看上去与2＋2＝4一样地自然。欧拉的基本公式都非常简洁优美。有一位注释者评论道：“方程的形式令人神清目爽。”［3］他的著名公式eiπ＋1＝0就是最为简洁、完美，最令人清爽的一个。
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欧拉生于瑞士的巴塞尔，父亲是一位牧师。父亲从小就教他简单的数学，激发了欧拉对数学的兴趣。欧拉上高中时仍有私人教师教他数学，因为学校里面不教这一科目。14岁时，欧拉进入巴塞尔大学，学习神学、语言学和医学等，涉及面比较广泛。不过最令他着迷的还是数学。每周六下午，他的私人教师、著名数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）教他数学。欧拉后来还与伯努利的儿子尼古拉斯和丹尼尔成为了朋友。1723年，欧拉拿到学位后，遵从父亲的意愿，打算做一名神学家。不过很快他又开始研究数学。
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研究数学并非易事。当时，大学里的研究基本都是在人文领域，留给数学家或者科学家的位置很少。而这些有限的位置也常常为皇家学院所掌握。
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幸运的是，俄国彼得大帝和他的第二任妻子凯瑟琳一世（历史上有名的“文艺复兴夫妻”）正在圣彼得堡着手建立俄国科学院，并在整个欧洲范围内招募著名科学家。早先招募到的是尼古拉斯和丹尼尔。这两人后来又邀请了他们的朋友欧拉。1727年欧拉到达俄国科学院，但此时彼得大帝和凯瑟琳都已去世，他们的继承人对于科学院的热情并不高，不过欧拉仍受到了照顾和支持。周围都是一流的科学家，而欧拉很快成为了科学院的首席数学家。欧拉极为多产，科学院期刊的编辑把他的手稿堆成堆，桌上一有空间就从上面取一些下来。在俄国科学院的14年间他遭受了一些苦难，这其中最大的就是右眼失明。这可能是由过度工作导致眼睛疲劳而造成的。然而，在这段日子里，他自由地进行了大量的计算，在该过程中重塑了数学的基础。
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伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）
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数学发展的方式常常不是直接的，就像城市的发展一样。人们先是建起一些定居点，它们之间几乎没有影响。后来这些定居点聚集在一起，形成住宅区。但住宅区的形成是随机的，适应性较差，几乎没有什么商业。此后出现了一位具有远见的领导者，他对各住宅区非常了解。通过重新命名街道，在重要的中心之间修建新的街道，形成了较大的、更加复杂、更有组织和更加统一的建筑。
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欧拉在18世纪的数学中所扮演的角色就是上面这位具有远见卓识的领导者。
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此时，数学中有两个发展成形的分支领域——代数和几何。几何研究的是点、线、面和由这三者构成的图形的性质。这些已经在古代欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中得到了系统的阐述。几何的一个分支是三角，它研究的是三角形的角度与边长之间的关系。三角最先是作为天文学的工具出现的。代数研究的是具有有限元素和离散解的方程。它主要研究有理数：能用整数或整数之比表示的数（p/q的形式），亦即小数部分不断重复的数。（像π之类的数，小数点后的数有无限多位，而且不重复，称为无理数。）早在中世纪的时候，阿拉伯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，约780—850年）就对代数进行了很好的整理和组织，并为其定名。花拉子米对数学的贡献集中反映在《还原与对消的科学》（Hisāb al-jabr wa’l-muqābala，830年）一书中。他采用“还原”（al-jabr）一词来表示在方程的两端加上相等的量，对其进行简化的过程。“还原”直译为希腊语就是“代数”（algebra），自此“代数”也成为整个领域的代名词。
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分支的统一
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18世纪初出现了一个新的数学分支，称为数学分析 。数学分析研究的是包含无穷多项的无穷序列的分支，也可以说数学分析是研究无穷序列的技巧的集合。它在很大程度上是由微积分发展而来的。微积分研究的是连续过程，由戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）和牛顿（他称之为流数论）发明的［4］。数学分析还研究无理数和虚数，即负数的平方根。虚数由哲学家和数学家笛卡儿命名，似乎他认为虚数是虚构的。虚数后来在数学上的用途和价值逐渐增大，但这个名称却一直沿用下来。
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但是，经过欧拉的组织，数学分析成为了完整的知识体系和有组织的新生数学领域。例如，欧拉首次对函数进行了系统的研究。函数现已成为不可缺少的数学工具，它把一个数与另一个数匹配起来。函数的简单例子有计算税率的公式和从华氏温度转换为摄氏温度的公式等。欧拉还提出并扩展了数学家用以计算无穷项级数之和的数学工具。在欧拉之前，数学家一直视计算无穷项级数的和为苦差。只有在没有其他方法可用时，才会采用此法解决问题。欧拉告诉数学家们，无需惧怕这样的级数。只要级数是收敛的，级数的和就很容易计算。欧拉还是数学史上最具影响力的数学符号提出者。他引进或标准化的重要符号有以下这些。
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π，圆的周长与直径之比，可能取自希腊语“周长”的第一个字母。
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e，自然对数的底，可能取自“指数”的第一个字母。对数就是底要经过多少次方才能变成一定值，e是自然对数的底（logey＝x的意思是ex＝y）。［5］
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i，即-1的平方根，基本“虚数”。i并不像笛卡儿想象的是虚构的。它拓展了可解方程的范围。［6］
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f(x)，x的函数。函数将一组数与另一组数匹配起来。
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sin，正弦函数的简写，它把直角三角形中一个角的度量和该角对边的长度与斜边的长度之比匹配起来。
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cos，余弦函数的缩写，它把直角三角形中一个角的度量和该角邻边的长度与斜边的长度之比匹配起来。
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∑，用于计算级数的和。
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