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1701052578 1741年，在圣彼得堡呆了14年的欧拉应另一个文艺复兴式的人物——腓特烈大帝的邀请，来到柏林科学院。不过他与圣彼得堡的同事仍保持着密切的通信联系。欧拉发现柏林并不如圣彼得堡更适合自己。腓特烈大帝已经习惯了那些卖弄学问的人，认为沉默寡言、不善表现的欧拉是他所网罗到的博学者中的一个例外，称他是“数学领域的库克罗普斯［7］”。［8］1766年，在柏林呆了15年之后，欧拉应凯瑟琳大帝的邀请，再次回到圣彼得堡。尽管在圣彼得堡得到了很大的支持，欧拉的健康状况还是不断恶化。他自己知道另一只眼睛的白内障正在不断发展，最终可能会失明。对此，他勇敢面对：“如此一来，我就更不容易分神了。”他开始学着在石板上用粉笔书写，再让孩子们誊抄下来。这样一来，注意力确实会更加集中。接下来的17年间，欧拉在数学的天地里继续无畏前行，不断计算、修改、写作，绕着桌子边走边说。儿子和助手就记录下他所说的话。欧拉就是在这种完全失明的情况下，完成了他几乎所有工作的另一半。

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1701052580 1771年，一场大火摧毁了大半个圣彼得堡，欧拉的房子也着了起来。此时的欧拉身体虚弱，而且双目失明。是朋友把他从房子里扛出来，送到了安全的地方。就在朋友扛着他向外跑的时候，欧拉依旧没有停止计算。1783年9月18日，欧拉教小孙子数学时，计算出了热气球的路径和新近发现的行星天王星的可能轨道等问题。突然间，欧拉的烟斗从嘴里滑落到了地上，同时，“停止了计算和呼吸”。［9］

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1701052582 今天的数学大厦与欧拉时代的相比，要高大得多。如今，大的数学分支有分析、代数和拓扑学。在这三个领域中，欧拉都起到了推动作用。他写的数学教科书《完全代数学导论》［Vollstandige Anleitung Zur Algebra，在英国出版的版本是《代数学基础》（Elements of Algebra）］，对代数领域的介绍与现在的基本一致。他也是最先涉足拓扑学的学者之一，尽管当时还没有这门学科。他给出了哥尼斯堡七桥问题的一个著名的解。该问题说的是能否一次走过连接城市的河岸和小岛的七座桥，而且不能再次经过任何一座桥。大约100年之后，拓扑学被人们接受，成为数学领域的重要分支。

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1701052584 尽管如此，人们公认欧拉是数学分析大师：学者们常称他为“数学分析转世”。欧拉在该领域最重要的工作是在柏林期间撰写的一本两卷教科书，书名是《无穷分析导论》（Introductio ad analysin infinitorum，1748年，以下简称《导论》）。在书中，欧拉给出了函数的许多发现（包括无穷级数）以及之前未被证明或者证明不够完整的定理的证明。欧拉还提出了一些定义和符号，它们后来很快就成为了标准，包括π和e。“《导论》一书对数学分析的重要性就好比是欧几里得的《几何原本》对几何的意义和al-Khowârizmî的Hisâb al-jabr wa’l muquâbalah对代数的意义。数代人受这部经典著作启发，开始学习数学分析，特别是无穷级数。”［10］

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1701052586 但是，《导论》的意义并不只是重新对数学分析加以组织。它把许多数学符号和数学公式变成了无穷级数的语言，使数学分析从一个全新的、处于不断发展中的领域，一跃成为与已有的几何学和代数学并行的主要数学领域。

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1701052588 深层联系

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1701052590 在《导论》一书中，欧拉宣布了一个重大发现，即指数函数、三角函数和虚数之间的深层联系。这一证明源自欧拉对指数函数的研究。简而言之，指数函数包括一个叫做“底”的数和另一个位于“底”的右上角的数，即指数。指数表示“底”要与自身相乘多少次才能得到函数值（这种记号由笛卡儿发明）。指数函数的简单形式是y＝2x，其中2是底，x是指数。对任意整数x，都可由该函数得出有限的级数项和整数乘积。例如，22＝2×2＝4，23＝2×2×2＝8，24＝2×2×2×2＝16，等等。

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1701052597 这些整数对可以拟合到一条曲线当中。在一条有着无穷多个点的曲线上，只有有限个点是由整数对组成的；这些点之间的曲线是由像3.81这样的小数或者像和π之类的无理数组成的。这样一来，令2乘以自身2.31次，次和π次是什么意思呢？有理数可以用p/q的形式来表达，因此2的有理数次方的意思就是2的p次方的q次平方根。例如，2的3.81（＝381/100）次方就是2的381次方的100次方根。而某数的无理数次方就是填充在曲线上除有理数次方之外的那些点，可通过计算无穷序列的极限得到。所以，2的π次方就可以由23，23.1，23.14，…，23.1415926计算得到，序列中所取的π小数点后的位数逐渐增加。

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1701052599 在《导论》一书的第7章，欧拉表明，如果用下列无穷序列的加和来作指数函数的底，在数学上将会有很多好处：

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1701052604 欧拉注意到，这些项的和是无理数2.718281828459…。为简单起见，欧拉用e来表示这个数。e是自然对数的底，也是最重要的数学常数之一。后来欧拉又注意到，如果把e作为自然对数的底，那么对于任意的x，函数ex可用以下无穷序列计算得出：

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1701052609 上述序列称为指数函数，是所谓的泰勒级数的一个例子。［11］

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1701052611 在第8章中，欧拉开始研究三角函数。他从直径为1的圆的周长为无理数3.14159265…这一基本事实出发。为简洁起见，欧拉将其称为π。接着欧拉描述了三角函数的性质。三角函数涉及的是直角三角形中的角，用各边边长之比表示。例如，正弦函数涉及直角三角形中的锐角，以角的对边与斜边之比来表示。正弦函数可通过以下方法从锐角推广到任意角度：在（x, y）平面上画出一个直角三角形ABC，使斜边BC的长度为1，顶点B落在原点（0, 0）处，顶点A落在正x轴上，顶点C落在x轴上方。设a为∠ABC，测量时从正x轴沿着逆时针的方向进行。因此，sin a即为AC/BC。因为BC＝1，所以sin a＝AC的长度＝点C的y坐标。如果我们用“点C的y坐标”表示sin a（a为∠ABC），那么就可以得到一个对任意角度都成立的定义：令BC转过一定的角度a（从x轴正半轴出发，沿逆时针方向转动），并记下点C的y坐标。相应地，角度a的正弦值就会从0变到1（90度），再变到0（180度），再变到-1（270度），最后再变到0（360度），并在之后的360度循环中重复以上变化。由此得到类似于示波器上所谓的“正弦波”的波形。余弦函数的定义相同，只是将点C的x坐标作为余弦值。随着角度的变化，余弦值从1变到0，从0变到-1，从-1变到0，再从0变到1，如此往复循环。余弦函数的图形与正弦函数相同，只是二者不同相。

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1701052613 之后，欧拉发现了正弦和余弦函数的几个比较明显的性质，包括通过简单应用毕达哥拉斯定理就能得出的一个事实，（sin x）2＋（cos x）2＝1。

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