1701052553
18世纪初出现了一个新的数学分支，称为数学分析 。数学分析研究的是包含无穷多项的无穷序列的分支，也可以说数学分析是研究无穷序列的技巧的集合。它在很大程度上是由微积分发展而来的。微积分研究的是连续过程，由戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）和牛顿（他称之为流数论）发明的［4］。数学分析还研究无理数和虚数，即负数的平方根。虚数由哲学家和数学家笛卡儿命名，似乎他认为虚数是虚构的。虚数后来在数学上的用途和价值逐渐增大，但这个名称却一直沿用下来。
1701052554
1701052555
但是，经过欧拉的组织，数学分析成为了完整的知识体系和有组织的新生数学领域。例如，欧拉首次对函数进行了系统的研究。函数现已成为不可缺少的数学工具，它把一个数与另一个数匹配起来。函数的简单例子有计算税率的公式和从华氏温度转换为摄氏温度的公式等。欧拉还提出并扩展了数学家用以计算无穷项级数之和的数学工具。在欧拉之前，数学家一直视计算无穷项级数的和为苦差。只有在没有其他方法可用时，才会采用此法解决问题。欧拉告诉数学家们，无需惧怕这样的级数。只要级数是收敛的，级数的和就很容易计算。欧拉还是数学史上最具影响力的数学符号提出者。他引进或标准化的重要符号有以下这些。
1701052556
1701052557
1701052558
π，圆的周长与直径之比，可能取自希腊语“周长”的第一个字母。
1701052559
1701052560
1701052561
e，自然对数的底，可能取自“指数”的第一个字母。对数就是底要经过多少次方才能变成一定值，e是自然对数的底（logey＝x的意思是ex＝y）。［5］
1701052562
1701052563
1701052564
i，即-1的平方根，基本“虚数”。i并不像笛卡儿想象的是虚构的。它拓展了可解方程的范围。［6］
1701052565
1701052566
1701052567
f(x)，x的函数。函数将一组数与另一组数匹配起来。
1701052568
1701052569
1701052570
sin，正弦函数的简写，它把直角三角形中一个角的度量和该角对边的长度与斜边的长度之比匹配起来。
1701052571
1701052572
1701052573
cos，余弦函数的缩写，它把直角三角形中一个角的度量和该角邻边的长度与斜边的长度之比匹配起来。
1701052574
1701052575
1701052576
∑，用于计算级数的和。
1701052577
1701052578
1741年，在圣彼得堡呆了14年的欧拉应另一个文艺复兴式的人物——腓特烈大帝的邀请，来到柏林科学院。不过他与圣彼得堡的同事仍保持着密切的通信联系。欧拉发现柏林并不如圣彼得堡更适合自己。腓特烈大帝已经习惯了那些卖弄学问的人，认为沉默寡言、不善表现的欧拉是他所网罗到的博学者中的一个例外，称他是“数学领域的库克罗普斯［7］”。［8］1766年，在柏林呆了15年之后，欧拉应凯瑟琳大帝的邀请，再次回到圣彼得堡。尽管在圣彼得堡得到了很大的支持，欧拉的健康状况还是不断恶化。他自己知道另一只眼睛的白内障正在不断发展，最终可能会失明。对此，他勇敢面对：“如此一来，我就更不容易分神了。”他开始学着在石板上用粉笔书写，再让孩子们誊抄下来。这样一来，注意力确实会更加集中。接下来的17年间，欧拉在数学的天地里继续无畏前行，不断计算、修改、写作，绕着桌子边走边说。儿子和助手就记录下他所说的话。欧拉就是在这种完全失明的情况下，完成了他几乎所有工作的另一半。
1701052579
1701052580
1771年，一场大火摧毁了大半个圣彼得堡，欧拉的房子也着了起来。此时的欧拉身体虚弱，而且双目失明。是朋友把他从房子里扛出来，送到了安全的地方。就在朋友扛着他向外跑的时候，欧拉依旧没有停止计算。1783年9月18日，欧拉教小孙子数学时，计算出了热气球的路径和新近发现的行星天王星的可能轨道等问题。突然间，欧拉的烟斗从嘴里滑落到了地上，同时，“停止了计算和呼吸”。［9］
1701052581
1701052582
今天的数学大厦与欧拉时代的相比，要高大得多。如今，大的数学分支有分析、代数和拓扑学。在这三个领域中，欧拉都起到了推动作用。他写的数学教科书《完全代数学导论》［Vollstandige Anleitung Zur Algebra，在英国出版的版本是《代数学基础》（Elements of Algebra）］，对代数领域的介绍与现在的基本一致。他也是最先涉足拓扑学的学者之一，尽管当时还没有这门学科。他给出了哥尼斯堡七桥问题的一个著名的解。该问题说的是能否一次走过连接城市的河岸和小岛的七座桥，而且不能再次经过任何一座桥。大约100年之后，拓扑学被人们接受，成为数学领域的重要分支。
1701052583
1701052584
尽管如此，人们公认欧拉是数学分析大师：学者们常称他为“数学分析转世”。欧拉在该领域最重要的工作是在柏林期间撰写的一本两卷教科书，书名是《无穷分析导论》（Introductio ad analysin infinitorum，1748年，以下简称《导论》）。在书中，欧拉给出了函数的许多发现（包括无穷级数）以及之前未被证明或者证明不够完整的定理的证明。欧拉还提出了一些定义和符号，它们后来很快就成为了标准，包括π和e。“《导论》一书对数学分析的重要性就好比是欧几里得的《几何原本》对几何的意义和al-Khowârizmî的Hisâb al-jabr wa’l muquâbalah对代数的意义。数代人受这部经典著作启发，开始学习数学分析，特别是无穷级数。”［10］
1701052585
1701052586
但是，《导论》的意义并不只是重新对数学分析加以组织。它把许多数学符号和数学公式变成了无穷级数的语言，使数学分析从一个全新的、处于不断发展中的领域，一跃成为与已有的几何学和代数学并行的主要数学领域。
1701052587
1701052588
深层联系
1701052589
1701052590
在《导论》一书中，欧拉宣布了一个重大发现，即指数函数、三角函数和虚数之间的深层联系。这一证明源自欧拉对指数函数的研究。简而言之，指数函数包括一个叫做“底”的数和另一个位于“底”的右上角的数，即指数。指数表示“底”要与自身相乘多少次才能得到函数值（这种记号由笛卡儿发明）。指数函数的简单形式是y＝2x，其中2是底，x是指数。对任意整数x，都可由该函数得出有限的级数项和整数乘积。例如，22＝2×2＝4，23＝2×2×2＝8，24＝2×2×2×2＝16，等等。
1701052591
1701052592
1701052593
1701052594
1701052595
1701052596
1701052597
这些整数对可以拟合到一条曲线当中。在一条有着无穷多个点的曲线上，只有有限个点是由整数对组成的；这些点之间的曲线是由像3.81这样的小数或者像和π之类的无理数组成的。这样一来，令2乘以自身2.31次，次和π次是什么意思呢？有理数可以用p/q的形式来表达，因此2的有理数次方的意思就是2的p次方的q次平方根。例如，2的3.81（＝381/100）次方就是2的381次方的100次方根。而某数的无理数次方就是填充在曲线上除有理数次方之外的那些点，可通过计算无穷序列的极限得到。所以，2的π次方就可以由23，23.1，23.14，…，23.1415926计算得到，序列中所取的π小数点后的位数逐渐增加。
1701052598
1701052599
在《导论》一书的第7章，欧拉表明，如果用下列无穷序列的加和来作指数函数的底，在数学上将会有很多好处：
1701052600
1701052601
1701052602