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欧拉注意到，这些项的和是无理数2.718281828459…。为简单起见，欧拉用e来表示这个数。e是自然对数的底，也是最重要的数学常数之一。后来欧拉又注意到，如果把e作为自然对数的底，那么对于任意的x，函数ex可用以下无穷序列计算得出：
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上述序列称为指数函数，是所谓的泰勒级数的一个例子。［11］
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在第8章中，欧拉开始研究三角函数。他从直径为1的圆的周长为无理数3.14159265…这一基本事实出发。为简洁起见，欧拉将其称为π。接着欧拉描述了三角函数的性质。三角函数涉及的是直角三角形中的角，用各边边长之比表示。例如，正弦函数涉及直角三角形中的锐角，以角的对边与斜边之比来表示。正弦函数可通过以下方法从锐角推广到任意角度：在（x, y）平面上画出一个直角三角形ABC，使斜边BC的长度为1，顶点B落在原点（0, 0）处，顶点A落在正x轴上，顶点C落在x轴上方。设a为∠ABC，测量时从正x轴沿着逆时针的方向进行。因此，sin a即为AC/BC。因为BC＝1，所以sin a＝AC的长度＝点C的y坐标。如果我们用“点C的y坐标”表示sin a（a为∠ABC），那么就可以得到一个对任意角度都成立的定义：令BC转过一定的角度a（从x轴正半轴出发，沿逆时针方向转动），并记下点C的y坐标。相应地，角度a的正弦值就会从0变到1（90度），再变到0（180度），再变到-1（270度），最后再变到0（360度），并在之后的360度循环中重复以上变化。由此得到类似于示波器上所谓的“正弦波”的波形。余弦函数的定义相同，只是将点C的x坐标作为余弦值。随着角度的变化，余弦值从1变到0，从0变到-1，从-1变到0，再从0变到1，如此往复循环。余弦函数的图形与正弦函数相同，只是二者不同相。
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之后，欧拉发现了正弦和余弦函数的几个比较明显的性质，包括通过简单应用毕达哥拉斯定理就能得出的一个事实，（sin x）2＋（cos x）2＝1。
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欧拉在继续总结牛顿和其他前人工作的基础上，又进一步发现正弦和余弦等三角函数可以用无穷级数表示。例如，函数sin x可用如下无穷多项的和来表示（为简单明了起见，我们采用黑体来书写这些项）：
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对于余弦部分，我们则用加粗的黑体来表示：
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采用这些函数，欧拉表明其他三角函数也可以类似地用无穷级数来表示。
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欧拉精于计算，他可以把三角函数加和起来，得到以e为底的指数函数。在计算的过程中，欧拉采用了虚数在《导论》写成的几年之后，欧拉用i来表示i虽然不是“实”数，在数轴上也没有位置，但却常被用于实数运算。这样数学家就可以求解原本不可解的方程。如果将i插入到ex的指数项中，则在无穷级数的所有项中都会出现i：
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由于i2等于-1，因此有i3＝-i、i4＝1，i5＝-i，等等。于是上述级数可以变为：
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欧拉发现如果将i的多项式并为一组，就可以得到：
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或者，就像他在《导论》的第8章中所写的那样（用i表示英文译本同此）［12］，为：
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eix＝cos x＋isin x
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上述方程在指数函数和三角函数之间建立了深层次的联系。印度著名数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920年）在上中学时曾发现了这个关系，并激动地把它写了下来。不过，拉马努金在得知自己并不是第一个发现这个关系的人之后，非常沮丧，把计算结果藏到了自己家房子的屋顶上。［13］