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7月9日，海森堡在完成论文后，将论文的复本给了波恩，请导师帮忙看看是否值得发表，同时问问自己能否研究那个在他看来似乎有些棘手，甚至有些怪异的基本思想。波恩答应了，不过因为讲了一学期的课，加上和另一个助手约尔当一直在做研究，他深感疲惫，好几天没去理会海森堡的论文。
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波恩读海森堡的论文是在他走之后。这篇论文给波恩留下了深刻印象。他将论文交给了《物理期刊》，并在7月15日写了一封信给爱因斯坦，说海森堡的工作看起来“非常不可思议，但确实是正确的，而且意义深远”。［14］不过波恩对海森堡的表和表的数学相乘法则有一丝不安。这法则看上去是那么地熟悉。一周的寝食难安过后，波恩突然想到上学时在数学课上曾见过这种特殊的结构。他的这位无畏的年轻助手在不知情的情况下居然独立地提出了这一结构。这些表被数学家们称作矩阵，表的行和列中排列着数字（或变量），而海森堡的表中元素数字有无限多个。实际上，海森堡提出的有趣的量子力学关系是数学家发现矩阵“乘法”的最自然的方式。
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波恩高兴坏了。矩阵数学为他提供了一种研究海森堡的工作并使之系统化的框架。他知道矩阵是不能对易的——矩阵的乘积与矩阵相乘的顺序有关。这样一来，海森堡的难题也就得到了解释。例如，为什么动量矩阵p和位置矩阵q不能对易，矩阵pq与qp是不同的（习惯上，物理学家常常用黑斜体符号表示矩阵）。不过这还不是全部。这对变量（称为正则共轭变量）虽然不能对易，但可用一种特殊的方法使其交换位置。pq和qp之差似乎是与普朗克常数成比例的特定矩阵：pq－qp＝Ih／2πi，其中I是单位矩阵，即对角线上的元素都是“1”，对角线以外的其他元素都是“0”。波恩后来写道：“我看到这个结果时非常激动，就像一个水手经过长久的航行，远远地看到了期待已久的陆地时的心情。可惜海森堡当时没在，真是遗憾。”［15］
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几天后的7月19日，波恩在火车上遇见了泡利。波恩激动地向泡利解释如何能将海森堡的论文翻译成矩阵语言，并问这位自己以前的助手是否想合作研究这一课题。可泡利却没放在心上，反而讽刺波恩要用“无用的数学”和“繁琐复杂的形式”“糟蹋海森堡的物理思想”。（历史学家认为这个评论很幽默，因为在这里海森堡的思想是形式化的，甚至比传统的矩阵分析还繁琐。）第二天，也就是7月20日，波恩拜访了约尔当。约尔当具有深厚的矩阵数学功底。不出几天时间，两人就弄清楚了如何从海森堡的工作推导出pq－qp＝Ih／2πi这一关系。这一次，波恩又是惊奇不已：“我永远忘不了海森堡的量子状态思想被成功地浓缩到神秘的pq－qp＝Ih／2πi方程中时，自己的紧张心情。这个方程是新力学的核心，之后我们发现它隐含着不确定关系。”［16］
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9月底，他们寄出去一篇论文，题目是“论量子力学”（On Quantum Mechanics）。论文中包含了海森堡所期望的“深入的数学研究”，这也是首次用公式表示矩阵力学。论文所采用的数学是人们所不熟悉的，许多物理学家必须在研读过矩阵之后才能理解论文的内容。数学方法也比较笨拙，不过应付有限的问题，从头一直算到尾还是没有问题的。两位作者把论文的复本寄给了海森堡，此时他已经离开剑桥，正在哥本哈根。他把论文拿给玻尔看，说：“瞧，波恩给我寄来一篇论文，可我却一点也看不懂。全是矩阵，都不知道是干什么用的。”［17］不过，海森堡在复习了矩阵知识后，他也分享了波恩和约尔当的激动心情。7月18日，海森堡写了一封信给泡利，信中说波恩的智慧思想pq－qp＝Ih／2πi是新力学的基础。海森堡、波恩和约尔当三人于是开始了狂热的通信。海森堡也终止了在哥本哈根的逗留，返回哥廷根，以便三人能够完成另一篇论文的工作——在波恩早先计划好的10月美国之行前，对波恩-约尔当论文的结果加以推广。［18］
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三人合作的结果就是由波恩、海森堡和约尔当合写的题为“论量子力学Ⅱ”（On Quantum Mechanics Ⅱ）的论文。物理史学家把这篇论文称作“三人论文”（the three-man paper）。论文的核心是所谓的“量子力学基本关系”，也就是那个奇怪的方程pq－qp＝Ih／2πi。这篇论文是物理学历史上的一个里程碑，它第一次描述了量子领域的图景。几乎同时，泡利也发表了一篇论文。在论文中，他成功地将矩阵力学应用到了氢原子的例子上（克服了相当大的困难）。
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然而，除矩阵力学的发明人外，几乎没什么人能够认识到矩阵力学的重要意义。这其中的原因在于，人们对矩阵力学价值的认同遭遇了几个障碍。障碍之一就是矩阵力学本身的复杂性：矩阵力学本身并没有那么难，可是海森堡在应用它的时候却看似异常复杂。大多数物理学家在掌握的过程中只能不加怀疑地接受。乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）的反应就很典型。他当时是莱顿大学的一名学生。乌伦贝克后来说：“所有一切都变成了这些必须要解出来的难计其数的方程，所以没人知道到底如何去做。”［19］其他一些人则因下述事实望而却步，即矩阵力学故意不给出原子力学的图景，它的基本项（矩阵）严格来说是没有意义的，只是形式上的象征物。［20］还有一些人对矩阵力学不能解释微观世界到宏观世界的过渡——没有空间和时间且无法看到的世界与人类生活在的、想象力所熟悉的时空背景之间的过渡，深感苦恼。历史学家马拉·贝勒（Mara Beller）曾写道：许多科学家于是采取了“观望”态度，甚至连波恩、海森堡和约尔当等人都把它当成是朝着正确理论迈出的并不完美的第一步。［21］
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然而，三人的论文在1926年2月问世后不久，作者们就邂逅了一位讨厌的同伴。
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矩阵力学与波动力学
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薛定谔有关波动力学的第一篇和第二篇论文分别于1926年3月和4月发表于《物理学年鉴》。波动力学与矩阵力学的研究对象相同，不过物理学家发现前者更易懂。波动力学中不存在矩阵力学中的那些障碍。第一，波动力学所涉及的数学是经典物理学家基本训练内容的一部分。从高中时代起，他们就一直在使用、求解波动方程。第二，波动方程是直观的。物理学家能看到水、声音、光波。这些波的属性（频率、振幅和波长）沿着波光滑、连续地传播。物理学家自己通过训练，可以看到波的其他性质，如波节和干涉等。不过这些都是Ψ函数中的小问题。波函数存在于多维“构形空间”之中——对系统中的所有粒子而言，波函数是三维的。即便如此，这些粒子看上去似乎也是直观的，就像某个物体在空间中运动或者被局限在原子内部像驻波一样保持“静止”。第三，波动力学提供了一种从微观世界到宏观世界的过渡的自然描述方法。就像薛定谔在当年发表的第三篇论文指出的：好比粒子一样，并且沿着经典路径运动的波组或者波包。这些经典路径是与Ψ函数的相前垂直的光线。［22］
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大多数物理学家并未对波动力学感到吃惊。然而，普朗克对此确实惊奇不已，而爱因斯坦更是狂喜。美国物理学家卡尔·达柔（Karl Darrow）曾报道说，波动力学“捕捉到了物理学的世界”，因为它预示着“长久以来令人们备感困惑、无法抑制的那种重返经典物理学的期望”（人们更加习惯的连续传播函数）将得以实现。［23］大量论文开始采用薛定谔的方法来解决原子领域的问题。不过，哥廷根物理学家的拥护者却有不同的反应：海森堡说波动力学“看起来太好了，都不可能是真的”；狄拉克的反应更是充满“敌意”；泡利则把波动力学说成是“疯狂的”。［24］然而，这些人很快就拜倒在波动力学的石榴裙之下。泡利用矩阵力学，辛辛苦苦地算出氢光谱理论后不久就发现，用波动力学去算氢光谱理论更加容易。波恩在给薛定谔的信中写道，他在读了矩阵力学的第一篇论文之后，非常激动，甚至都想“背弃连续物理学，背弃经典物理学脆弱、清晰的概念基础”。［25］不过他的热情很快就降温了。
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起初，冲突集中在两种方法的科学价值的争论上：哪一种方法的效果更好？第一个检测对象就是氢原子。这个问题泡利已经分别用两种方法解决了。氢原子就好比是原子物理学家的果蝇或者实验鼠。所有模型都需要解决的第一个问题就是它：因为氢原子已经用旧量子论成功分析，并且结论与实验结果非常吻合，因此这也意味着可对公式加以比较。另一个检测是要解释量子世界与经典世界之间的过渡，也就是如何从原子世界过渡到人们所熟悉的宏观世界。薛定谔已经表明波动力学可以给出答案，但矩阵力学目前对此尚无能为力。不过，另一个重要问题是如何处理原子世界中的碰撞问题，这需要说明系统随时间的变化情况。
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“究竟哪种方法具有更重要的科学价值”的问题很快就有了答案。1926年5月，在他的第四篇论文中，薛定谔证明了两种方法在数学上是相同的。［26］泡利也得到了相同的结论。虽然尚不清楚如何处理所有的检测，但是两种方式在数学上是等价的这一事实已经表明，两者在数学上的重要性是旗鼓相当的。不过，从科学上说，波动力学对波谱连续部分的分析是必需的，因此它的用途要比矩阵力学广。
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海森堡的自传作家戴维·卡西迪（David Cassidy）指出，尽管如此，这一结论却使冲突再起，令各方也开始严肃对待。随着数学上的等价性这一问题的解决，支持者们现在可以针对理论的物理解释进行自由辩论。两方针锋相对，不过薛定谔对波动力学的解释至少还是给人以希望的。它是这样描述的：随着时间和空间的展开，原子世界乃是自连续过程编织交错而来；这些过程又恰是事件看似不连续的原因。相反，矩阵力学所描述的原子世界中没有连续过程和偶然联系，与时间和空间也没有关联，并认为原子世界是一个人类无论如何也想象不出的世界。与科学价值上的冲突相比，该冲突容易确定，不过也更倚赖于人的情绪。它反映出的是对手对物理学的认识，对世界的认识，以及对人类和世界之间的最根本关系的认识。
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不过，正像贝勒所指出的：“在有关解释的争论的起始阶段，没人有一个能够明确说清楚的位置，更不用说了解‘真相’了。”［27］现在，这种再起的冲突迫使支持者们就各自理论的物理解释进行辩论。薛定谔也只能辩论道：在最基本的层面上，世界是由连续性组成的；要描述它，并不需要海森堡那套蹩脚的正规方法。薛定谔还必须要解释波包如何能结合在一起，详细阐述Ψ函数的意义，说明量子现象的非连续性为何是源于连续的波动过程的。最终，薛定谔只能承认波存在于多维构形空间中。海森堡和他的支持者只能辩说整个世界全是非连续的，用除此之外的其他方式来呈现都会误导他人。他们还必须给出一种把矩阵力学的正规符号项与人们所熟悉的性质联系起来的方法，说明为何在到了波动力学可直观理解的程度后，该方法就是错误的。对双方间的这种不一致，各自的支持者们已经习惯了。贝勒表明了各方是如何“做手脚”，把对方理论的内容加到自己的当中，并使其发挥作用的。但是，这种新的、强烈的冲突却为不确定性原理和哥本哈根诠释的提出铺平了道路。［28］
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薛定谔已经开始在论文中向对手发动攻击，证明两种方法的同一性。两种方法的确是相同的，不过他说他却因矩阵力学“极其困难”的数学方法和无法直观理解的特性而“失去信心，或者说因此就被拒之门外了”。［29］他后来还说，如果人们“压抑直觉”，“只用跃迁概率和能级等抽象观点的话”，那么要解决跃迁之类的原子领域的问题就会变得“极其困难”。［30］薛定谔在给维恩的信中写道：公开表示把物理学局限到客观测量之必要性上，“无非是为了掩盖人们无法猜想出真实图像这一事实”。［31］
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海森堡说的话至少算得上是尖刻的。他把波动力学描述成“恶心的垃圾”。他声称，波动力学要是到了能够直观理解的程度，它就是错误的，使用矩阵力学的物理学家较不易被迷惑，从而能够更深刻地洞察自然。［32］波恩曾说：“数学比直觉更可靠。”［33］
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双方之间的冲突很快就演变为面对面的对抗。1926年7月，薛定谔和海森堡在慕尼黑的一个会议上首次见面。薛定谔此时拥有更多的支持者。他做了两个关于波动力学的报告。海森堡站在最后，反驳说：没有一个依赖于连续过程的理论能够解释量子现象的非连续性，如普朗克辐射和康普顿效应。不过听众似乎还是站在薛定谔一边，似乎没什么人受了海森堡的影响。海森堡也感觉到一丝挫败感。之后，他去了哥本哈根，呆了几个月的时间，与玻尔一同工作。可两人的意见也还是不一致。玻尔认为必须采用经典概念对实验现象进行描述，海森堡却不这样认为。不过他们却就如下问题达成了一致：为什么量子不连续性意味着无法定义空间和时间，也就是说量子世界既不能用包含连续函数的理论来表示，也无法通过人脑（想象力依赖于时空背景）想象出来。
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薛定谔和矩阵力学派之间的下一次较量发生在三个月之后。1926年10月，玻尔邀请薛定谔到哥本哈根参观。哥本哈根是矩阵力学的阵地（虽然哥本哈根学派也已经开始将某些波动力学理论作为工具使用）。薛定谔学术态度理智诚实，似乎又赢得了广泛的认可，自然很高兴能去参观对手的总部。不过，他对后来发生的事情却完全没有准备。玻尔在火车站接到了薛定谔，他立即开始向薛定谔介绍工作的进展，与薛定谔没日没夜地辩论了好几天。玻尔安排薛定谔住在自己家里，哪怕一分钟都不想放过。海森堡后来回忆道：
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玻尔是一位非常体贴和热情的人。但是，在这类他认为具有重要意义的认识论问题上，玻尔却坚持所有论断都必须是完全明确的。这种坚持甚至演变为狂热的、恐怖的坚韧。辩论进行了几个小时，玻尔还是不肯放弃，直到薛定谔承认自己的解释还是不够，甚至不能解释普朗克定律。也许是因为辩论过度劳累的关系，几天后薛定谔病倒了，躺在玻尔家的床上。即便如此，玻尔也还是不肯从薛定谔的床边离开。他会一遍又一遍地说：“可是薛定谔，你至少必须承认……”有一次，薛定谔终于爆发了：“如果你还要坚持你的狗屁量子跃迁的话，那我可真该后悔当初踏入了原子论领域。”［34］
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有海森堡在身边，玻尔说服了薛定谔作出（临时的）让步。不过这一让步并没能持续多长时间，薛定谔很快就开始撰写波动力学的论文。1926年11月，薛定谔把他的六篇波动力学的重要论文（发表在《物理学年鉴》上的四篇系列文章“特征值问题的量子化”以及分别关于边界问题以及波动力学和矩阵力学的同一性的两篇论文）整理后出版成书。
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此时，玻尔对波动力学作出了新的解释。他想要理解电子和原子之间的碰撞，于是仔细检查薛定谔的结论，即Ψ函数指的是电子的电荷密度。他发现这一结论讲不通，并做出结论：Ψ函数说明的并不是事件的状态，而是事件的概率 。之后，泡利写了一封信给海森堡，提出Ψ2表示粒子在特定位置上出现的概率，而不是状态的概率。这样就能在一定程度上恢复时空背景和便于直观理解。电子从某个位置移动到另一个位置的轨道或者路径能否直观想象并不是必须的，但是不管电子是通过什么路径到达的，它总会具有一定的位置。［35］所以，经典性质的确存在，而且可以精确测定。不过，那个奇怪的想法仍然是摆脱不了的，即薛定谔说的在空间流动的奇怪函数并不是实际存在的物体，而只是实际物体在那一点能被发现的概率。波恩后来评论说：“我们已经习惯了作统计上的考虑，所以更深一层于我们而言并无太重要的意义。”［36］
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在10月19日提出波函数解释的那封信中，泡利还注意到了恼人的pq－qp问题的深层含义。海森堡曾辩称：这两个共轭变量（不可对易项）指的都不是位置或动量等可以共同准确测量的经典变量。泡利说两者之一可能是经典变量——但如果是这样，另一个就只能是概率了。这使不可对易性变得更加奇怪。泡利告诉海森堡：“我对这方面的物理学从头到尾一点都不清楚。”他曾困惑地说：“我的第一个问题是，为什么只能用任意精度描述p，而不能以任意精度同时准确描述p和q？”“你可以用p眼或者q眼看世界，可同时睁开两只眼看，却会出错。”［37］这意味着什么？
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海森堡的回复有点迟，主要是因为泡利的信在同事间传阅，很难拿到。10月28日，海森堡终于寄出了回复。他仍旧没有接受对直观化和经典变量的隐含的恢复，并认为波恩“极其教条”的观点只是“诸多可能的解释中的一个”，而不予理睬。他还继续坚持认为pq－qp＝Ih／2πi这一关系表明了单独的p或者q都是没有意义的。“总的来说，我希望答案是以下类型的（不过他并没有到处宣扬）：时间和空间只具有统计学上的概念，就如同气体的温度、压力等。我的观点是，在谈及单个的粒子时，空间和时间概念都是没有意义的。粒子数目越大，时间和空间的概念就越有意义。我一直想把它继续向前推进，可到目前还没有成功。”
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几个星期后的11月15号，海森堡向泡利展示了一个看似结论性的论证：为什么量子世界使单独的p或者q失去了意义。［38］不妨假定在某个特定的点上有一个物体，比如电子。电子的速度是由它在该点与离该点无穷远的点之间连续运动时的速度所决定的。但是，如果时空是非连续的，电子就会从一个状态飞到另一个状态。这样，从定义上来说电子就没有速度了！一个星期后，海森堡回来了，依旧对这一问题深深着迷。［39］世界是不连续的，所以“c数”（经典数）表明人们对发生的事情了解得太多了。“对于‘波’和‘粒子’两词的意思，反而弄不清楚了。”
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