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约在1659年时，荷兰数学家和物理学家克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695）寻求找到这样一条曲线：沿着曲线，一个物体在重力的作用下，从曲线上的任一点开始下降，都会花同样的时间到达曲线底部。他用几何方法显示该曲线是一条摆线，于是，惠更斯运用这个观念设计了一个走时准确的摆钟。这种设计有时被称为等时线或等时曲线。伽利略在早些时候提出过用钟摆制作时钟的观点，莱布尼兹在这个问题上也做过一些数学方面的基础工作。
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1690年，在微积分的基础上，雅各布在《博学学报》上发表了他对等时问题的分析。通过对这种下降速度不变的曲线建立微分方程，他解决了这个问题。他向大家展示，这种曲线是摆线。大体上，他运用分析的方法证明了惠更斯的结论。这篇论文之所以重要还有一个原因：积分（integral）这个重要的微积分术语第一次出现了。
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在等时问题上的成功，雅各布倍感自豪，他在这篇论文里接着提出了一个相关的问题：在高度相同的固定两点之间悬挂一条易弯曲但没有弹性的线，求所得曲线的形状。对这个问题的推算至少可以追溯到15世纪的莱昂纳多·达·芬奇。伽利略考虑过这个问题，并猜测该曲线是抛物线。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 小弟弟
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雅各布发表论文后13个月，1691年6月的《博学学报》上出现了好几种关于该问题的解法。答案是一种被称为悬链线的曲线，它们的作者是莱布尼兹、惠更斯——还有约翰。前面有一段引自雅各布的引文，他称之为“Additamentum ad Problema Funicularium”。文中，他声称在弟弟给出该问题的答案后，他进一步研究了该问题的一些变化形式，如绳子厚度和重量不均时的情况，这些问题他都解决了(2)。我们将会看到，雅各布的引文对原问题不是一个严格的解答，该引文有几种不同的解释。
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约翰强调他能够解决这个悬链线问题，而他的哥哥——也是他的老师——却不能。这是1691年的事。大约27年后的1718年，约翰在给他的同行兼朋友皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫尔（Pierre Remond de Montmort）的一封信中，道出了后来他和哥哥的关系状况。信中谈到他13年前死去的哥哥，用语轻蔑。从这里，我们能看到他们兄弟之间因永无休止的竞争而导致的紧张关系。很显然，蒙莫尔先生之前一直以为雅各布解决了悬链线问题，但约翰不以为然。他写道：
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我哥哥的努力没有结果。而我却幸运得多，因为我找到了（我这样说不是吹嘘——我为什么要隐瞒真相呢？）完全解决它的技巧，并把它简化为只是对抛物线做出一些修正。的确，我花了整整一晚上来钻研它而没有休息片刻……但在第二天早上，我满怀喜悦，跑到我哥哥那里去，他还在痛苦地思索如何解开这个戈尔蒂之结。他茫无头绪，老是像伽利略那样认为悬链线是一种抛物线。打住！打住！我对他说，不要再用试图证明悬链线是抛物线来折磨你自己了，因为这完全错了……这两条曲线完全不同，一条是代数的，另一条是超越的……但是，后来你（蒙莫尔）断定我哥哥找到了解决这个问题的方法，这让我很吃惊……我问你，你真的这样认为？如果我哥哥解决了这个问题，他会很乐意帮助我，使我不和惠更斯先生及莱布尼兹先生一起出现在解决者的名单中——这样做使我放弃了以首先解决者的身份单独出现在舞台上的荣誉(3)。
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约翰实际上已经看到了两种解决方法间的重要不同之处。
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对于抛物线，在笛卡儿坐标系中标准方程最简单的形式是
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这显然是一个代数方程。对于悬链线，约翰表明它是超越方程：
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不久之后，约翰求出了风帆线(4)的微分方程。他不是那种能在私底下享受快乐的人，于是到处宣扬他的成就。
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面对两兄弟各自的声明和反诉，梳理出背后的事实是我们从一开始就面临的困难，实际上我们已经遭遇到这样的困难了。尽管约翰声称他已经解决了悬链线和风帆线问题，这也得到了一些作者的支持(5)，但其他人对他这两项声明都有争论。比如，备受尊敬的数学史家W·W·鲁斯·波尔（W. W. Rouse Ball）争辩说，这两项成就的荣誉都应该归于雅各布。波尔主张，雅各布对风帆线问题的解答，以及对莱布尼兹给出的悬链线图形的证明都是正确的，都是他最伟大发现的一部分。(6)另外，有资料显示：雅各布的方法在后来被证明更有用，比如在吊桥和高压塔等建筑的设计中(7)。正如我前面提到的，雅各布1691年的论文包括了对悬链线问题变化形式的处理，并进一步将其推广，这表明他确实对这些原始问题有一些理解。
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弗洛里恩·卡约黎（Florian Cajori）对这场混乱给出了一种可能的解释，他认为雅各布喜欢不作解释地发表解答，而约翰则会另外给出它们的原理(8)。
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好了，问题有些明朗了。这一次很可能是约翰竭力想摆脱小弟弟的角色，于是宣扬自己的成就，或许还有所夸张。在这个问题上，约翰坚持认为他比雅各布更早找到解法，而且解法更好，又有谁能阻止他这样做呢？
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数学恩仇录：数学家的十大论战 他们的早年
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莱比锡大学的数学教授鲁迪格·希勒（Rudiger Thiele）说，两位数学家的父亲的消极态度对兄弟两人的个性产生了不幸的影响。然而，希勒教授认为作为小弟弟的约翰受害尤其深重。随着年岁渐长，约翰养成了极度自负的性格，以此弥补他早年所受到的伤害。他竭尽所能去争取名誉，但他总是发现自己活在哥哥的影子中。于是，他尝试着夸大自己的重要性。
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希勒教授甚至认为，约翰的性格问题事实上让他难以正常评价他自己的数学成就(9)。说到这两兄弟所取得的广泛成就，荣誉应该归谁，希勒指出，在他们相互交往的早期，兄弟俩亲密合作，所以有时很难区分出他们各自的贡献(10)。我前面提到的悬链线和风帆线的解决，可以用这个解释来说明。《大英百科全书》（Encyclopedia Britannica）声称约翰的数学贡献在数量上超过了他哥哥的贡献(11)，希勒认为约翰说了太多假话（Unwahrheiten），以至于确实是他自己该得的名望别人都不承认了(12)。
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但他乐此不疲。1701年，约翰写信给他的父亲：“我从来没有收到过父亲的信，这件事说明你更喜欢哥哥们，而对我没有感情。我真的不值得像我的兄长们那样被关心么？……如果你能告诉我他们是怎么从你那里赢得这种信任和感情的——这是你没有给我的，我将非常感激。因为我的父亲不允许我过自己想过的生活，我已经将自己置于神的引导下。所以，请你不要来巴塞尔带走我的名誉，并说你与之毫无关系。”(13)