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他既有独创性又多产。他死后出版的论文集，足足有四卷本。尽管他在很多领域都有钻研，但他主要的工作都是围绕着代数里的基本问题，包括求五次方程根的问题。他还钻研微积分。虽然他没有对他的观点提出强有力的证明，这多少损害了他的创造力，但他娴熟地创造出了很多这些领域所需要的表述方式和符号。他发明了大部分的不变量理论所用术语和我们现在经常用到的矩阵概念——从一堆矩形阵列的数中得出决定性的数值。正是因为这个天才发明，促成皇家学会在1861年给他颁发了皇家勋章，后来在1880年，他又获得科普利奖。
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贝尔形容他说：“西尔维斯特是一个矮壮结实的人，大大的头稳稳地安在宽阔的肩膀上，给人一种充满了力量与活力的感觉。实际上，他确实是这样的。”(32)是否夸张不论，就像他在晚年所写的，西尔维斯特认为他一生都在和整个世界作战(33)。权威的四卷本巨著《数学世界》（The World of Mathematics）的作者詹姆斯·R·纽曼（James R. Newman）形容他是一个充满才气、脾气暴躁、难以安静的人(34)。
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因此，西尔维斯特是一位才华横溢的数学家，也是一位以出色的演讲才能著称的斗士。所有这些，都给了英国协会的委员们充分的理由选他作为他们的捍卫者。西尔维斯特对加入这个圈子的意愿也起了一定作用，因为他实际上长期以来就和赫胥黎有些个人恩怨。
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1864年11月，一个新俱乐部成立了。这就是X俱乐部，它是由从皇家学会成员中精挑细选出的一些人组成的，这些人实际上主导着英国科学的发展。赫胥黎位列其中，而却没有西尔维斯特。这个小组在皇家学会每月的例会前聚餐，一直维持到1892年因年岁太久解散为止。西尔维斯特是其中一个成员——数学家兼物理学家的托马斯·阿切尔·赫斯特（Thomas Archer Hirst）——的密友，他还和其他大部分成员保持着不错的关系。但不知什么原因，他一直没被邀请加入俱乐部，尽管俱乐部的初衷是发展到10个成员，而实际上只有9个成员。更何况俱乐部里确实有两个数学家。赫胥黎众多的交往圈中，这个俱乐部是他最看重的。考虑到赫胥黎在英国科学家中的重要地位，对自己没被邀请加入俱乐部，西尔维斯特肯定会对赫胥黎耿耿于怀。后来，他称这个俱乐部是一个“阴谋小团伙”。
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无论如何，对于反击赫胥黎对数学的指责，这个人注定是最适合站出来应战的斗士。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 西尔维斯特的反击
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反击的场合安排在1869年英国协会的A分部——数学和物理学分部——的主席讲话。西尔维斯特已被选为这个分部的主席，照他自己的说法，他“得到安慰性的保证，是否发表一个演说，我自己看情况而定。”(35)
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开始的时候，西尔维斯特认为他没必要发表演说。但是三思而后，他决定“没有演讲，协会的会员们会感觉到就像是在某个婚宴上，客人们没人愿意起身去祝福新郎和新娘健康。”(36)现在看来，这似乎是一个奇怪的解释，听起来更像是宴会干杯时说的开场白，而不是野炊烧烤时说的。而西尔维斯特也确实用一些很礼貌的话开始他的演说。例如，他说赫胥黎是“一个让我既尊重其诚实为人和公益精神，又钦佩其睿智和辩才的人。”然而，接着他又说了这样的话：“但他对于一个没有研究过的学科的一些看法，我不得不表示不赞同。”(37)
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西尔维斯特开始还击了。战火越燃越烈：“我毫不怀疑，有可能在下次协会的会议上当选为主席的杰出朋友，如果能够将他非凡的推理、归纳、比较、观察和创造能力运用到数学研究中，他肯定已经成为一个伟大的数学家，就像他现在是一个伟大的生物学家一样……他的名字意味着的显赫地位，因此对于这样一个大人物发出的任何主张，如果在我看来是错误的，或者是很容易引起错误的，我们都必须紧迫起来，不能姑息这些主张，或者让它们悄无声息地流传。”(38)
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在一些明显更富引导性质的评论后，西尔维斯特引用了赫胥黎一个具有煽动性的声明：“数学是那个对观察毫无所知、对实验毫无所知、对归纳毫无所知、对因果律毫无所知的学科。”(39)
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西尔维斯特对这段话的回应如下：
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对于这件事中一些毫无疑问的事实，我想没有什么别的表述来阐释更大的异议。（我认为）数学分析不断地援引新原则、新观念和新方法，（它）不能用任何言语来定义，但它促使我们大脑里内在的能量和活力爆发出来，通过持续地审视内心世界（内心世界思考的现象像外在的实物世界一样变化多端，同样需要我们近距离地仔细观察）……不断地激发我们观察和比较的能力。它最主要的手段是归纳，它需要经常地求助于实验和确认，它给我们最大程度地发挥想象力和创造力提供了无尽广阔的空间。(40)
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西尔维斯特继续给出一些支持他的主张的例子，比如，“拉格朗日（没有别的权威比他更值得引用）特别强调，他相信数学对锻炼观察能力的重要性；高斯（Gauss）称数学是眼睛的科学，与这个观点一致，他经常谨小慎微地使他编的课本不产生印刷错误。”(41)
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接着又转到一个令赫胥黎意想不到的主题，西尔维斯特说：“永远都让人痛惜的黎曼曾经写过一篇论文，说明我们空间观念的基础是完全依赖经验的；我们的空间规律知识也是观察的结果；我们可以设想其他形式的存在——它们的规律不同于我们实际处于其中的空间规律；没有证据表明，这些规律可以延伸开来，说明空间是由不可分割的无穷小成分所组成的。”(42)
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后来，他说：“如果不是全部，至少是绝大部分现代数学的伟大观念都起源于观察。”他举了好几个例子，其中之一是“关于方程根的斯特姆定理（Sturm’s theorem）。他亲口告诉我，对复杂的钟摆运动做了很多近距离机械性的观察和研究之后，他才得出了这个结果。”(43)
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几个例子之后，他接着说：
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如果需要，我会继续举出一个又一个的例子来证明，对于数学发现的过程来说，观察能力是至关重要的。如果在这里详述个人经历不会显得不合时宜的话，我会告诉大家一个极其有趣的故事，它是关于我最近在一个领域里所做研究的故事。在这个领域里，几何、代数和数论以一种令人惊奇的方式融合在一起，就像夕阳的色彩或濒死的海豚所显的颜色。（这个研究的纲要刚刚在《伦敦数学学会进展》上刊载了出来）“最后，但最有趣的是”，它非常鲜明地向我们展示了观察、猜想、归纳、实验，还有确认、推理（是否如我设想的那样，它应该有这样的意思：从大量的现象中总结出它们之所以如此的原因和理由。）与数学研究的关系是多么的密切(44)。
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然而，西尔维斯特接着掉转话锋，谈起英国的数学教育，这跟赫胥黎一直以来对一般英国教育的主张一样：
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当然，我不会荒唐到坚持认为，观察外界自然的习惯最好或在某种程度上要通过学习数学来养成。无论如何，就目前所实施的教育，没有人比我更诚挚地希望看到自然和实验科学进入学校，并成为教育主要的、不可或缺的部分：我认为应该把科学研究和数学文化紧紧结合起来，它们会相辅相成的。我会很乐于看到，数学可以用生动活泼的方式来教授，正如她那年轻而富有活力的妹妹自然科学和实验科学所做的那样……并且，学生的思维会更敏锐，思路会更广；通过更早地融入极性、连续性、无限性等主流观念，学生的信念觉醒了；他们对假想和难以置信的学说也熟悉了(45)。
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西尔维斯特回想了赫胥黎对一般英国教育的不满，他接着说：“这个学科的生动有趣正是我们传统的中世纪教育方式所极度缺乏的。在法国、德国、意大利，每一个我曾到过的欧洲大陆国家，都通过一种与我们思想僵化，拘泥陈规的学术机构完全不同的方式，来直接用思维锻炼大脑，而且他们真正有不同知识间的合作；人们把导师和学生间的关系看成是一种终生的精神纽带，通过这种牢不可破的关系，把连续几代伟大的思想者彼此紧紧地联系在了一起。”(46)
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但是，接下来他回到他的基本论点：“当我凭着这股热情追寻下去的时候，作为一个卑微的代表，站在这里的我，世界上没有任何一种学问能够像数学这样带给人类的思维才华以和谐的发展，同时给它的追随者带来如此众多的令人惊叹的神奇……或者……似乎通过连贯的启发步骤，培养人类到一个越来越高的有意识的智力状态。”(47)
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西尔维斯特应该知道他是在和一个富有经验、意志坚定、极其好辩的竞争者较劲。尽管他竭力不直接侮辱对方，但他应该知道他还是直接挑战了“达尔文的斗牛犬”。众所周知，用阿德里安·德斯蒙德的话说，这个人拥有“一把笔剑”(48)。
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