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换句话说，自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应（同势）的子集。因此整个集合与它的部分相等。当然，这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
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现在康托尔脑子转得飞快，他开始创造出一种新的数学。例如，他向我们展示，如果我们把所有整数（阿列夫零）和所有整数的平方数（也是阿列夫零）加起来，结果仍然是阿列夫零！
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而且，同样有
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依此类推。对于一些人来说，也许这看起来仅仅是一个游戏。康托尔则认为这意味着需要一门新的数学，而这也是这门数学的开端。
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他选择阿列夫符号是既聪明又恰当的做法。他主要是这样认为的：古希腊和罗马字母已经在数学和科学中被广泛运用，而他的数学值得用一个独特的符号。但直到19世纪90年代，他认识到需要用一个标准化符号，才正式引入它。在这之前，他试着用了不同的符号。我们在这里用阿列夫简化了说明步骤。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054508]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 集合论诞生了
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19世纪70年代和80年代是集合论发展的时期。1872年，戴德金已经在一一对应的无穷集和子集上做了一些工作。康托尔继续钻研下一个逻辑问题：有不可数的无穷吗？就是说，有规模不一样的无穷吗？他通过再次审视数的集合来开展这项研究。他清楚有理数集可以一一对应于自然数集，代数数(14)集也可以这样。
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这样能得出实数集(15)吗？他花了些功夫，但在1873年年底，他写信给戴德金说，他已经成功地证明了实数集不能与自然数集一一对应(16)。它是“不可数的无穷”。康托尔给这种集合取名“连续统”，用符号c表示。这一刻，集合论诞生了，不同规模集合的观念形成了！
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通过这个证明，他展示了实数的次序比自然数高。他明白他必须发表这个结论。他也明白很多数学家都对他的成果持有很大保留意见。在这篇论文中，他将既解决无理数问题，又解决无穷的规模问题。他希望论文发表在《克列尔杂志》上。不幸的是，克罗内克作为那儿的编辑，有权拒绝任何论文。克罗内克也已经流露过对康托尔研究方向的不满。更何况，克罗内克的观点，包括他对无理数的认识，在数学界广为人知。如果其他数学家看到一篇清楚陈述康托尔新成果的论文，仅仅是为了讨好克罗内克，他们也会坚决表示反对意见的。
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康托尔决定耍个心眼。他认为，业内的很多人，包括克罗内克，很可能是仅仅扫一下这篇论文的题目，看是否有什么值得反对的东西在里面。他给他的论文取名为《关于所有实代数数集合的性质》（On a Propery of the Collection of All Real Algebraic Numbers）。因此，从这个题目来看，它仅仅像是对约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）一个早期定理的证明。这个定理说的是：非代数实数确实存在。表面上看来，他似乎只是写代数数方面的问题。这个策略成功了。1874年，这篇论文蒙混过关，发表在《克列尔杂志》上了。集合论崭露头角——但它不得不藏在一篇看起来说的是别的主题的论文里。
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但是，现在麻烦要来了。从这时开始，康托尔清楚，克罗内克会更加提防他的。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054509]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 冲突开始了
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事情平静了一段时间，康托尔继续准备迎接下一个挑战。1877年，他发现甚至他自己也忽略了无穷的一个性质。在1874年给戴德金的一封信中，他提出了下面的问题：一个平面（比如一个包含边界的正方形）能和一条线（比如一条包含两个端点的直线段）一一对应吗？这样，对于平面上的每个点，在线上都有一个对应点；反过来，对于线上的每个点，平面上都有一个点与之对应。我认为解答这个问题不是一件容易的事，尽管事实上看起来，答案似乎很明显是“不能”，证明它显得几乎没有必要(17)。
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这个故事第一个值得注意的地方是：康托尔应该提出了这样一个问题。第二个值得注意的地方是：3年后他再次写信给戴德金说，他已经阐释了这个问题的答案，是“能”。概括一下，他说n维连续空间可以与一条线上的点集一一对应（具有相同的势）。他写下“我看出了这一点，但我不敢相信。”(18)他的证明有点笨拙，但非常正确。
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戴德金对康托尔的新发现表示祝贺，但提醒他将其发表会很难。他说对了。1877年7月12日，康托尔将阐释这个发现的论文送给《克列尔杂志》。尽管这些发现——所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷——颇有争议，但杂志的编辑答应发表它，魏尔斯特拉斯也承诺在论文面世后宣传它。
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然而随着时间的流逝，很显然杂志社方面没有采取任何行动去促成论文的发表。康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼，阻挠论文的刊载。他越来越不安，写信给戴德金说他考虑收回这篇论文，尽力在别的地方发表它——尽管《克列尔杂志》以前发表过他的成果。戴德金说服他再等一段时间看，或许他对杂志施加了某些影响。无论如何，这篇有时被称作康托尔的《稿子》（Beitrag）的重要论文，最后确实在第二年进入了公众的视野。
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尽管杂志发表了他的论文，但时间拖得这么长，克罗内克竟能施展阴谋到如此程度，康托尔还是感到很不安。
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克罗内克的阻挠行为背后有部分动力纯粹是出于数学目的，他只是实实在在地不同意康托尔的数学观点，理解这一点很重要。克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念，不应该允许他发表这些没有结果的想法。克罗内克不是第一次这样做，他曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。况且，康托尔的证明建立在无理数和实数一一对应的关系上，而对于克罗内克来说，无理数纯粹就不存在。
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