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1701056520 换句话说,自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应(同势)的子集。因此整个集合与它的部分相等。当然,这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
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1701056522 现在康托尔脑子转得飞快,他开始创造出一种新的数学。例如,他向我们展示,如果我们把所有整数(阿列夫零)和所有整数的平方数(也是阿列夫零)加起来,结果仍然是阿列夫零!
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1701056527 而且,同样有
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1701056532 依此类推。对于一些人来说,也许这看起来仅仅是一个游戏。康托尔则认为这意味着需要一门新的数学,而这也是这门数学的开端。
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1701056534 他选择阿列夫符号是既聪明又恰当的做法。他主要是这样认为的:古希腊和罗马字母已经在数学和科学中被广泛运用,而他的数学值得用一个独特的符号。但直到19世纪90年代,他认识到需要用一个标准化符号,才正式引入它。在这之前,他试着用了不同的符号。我们在这里用阿列夫简化了说明步骤。
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1701056540 数学恩仇录:数学家的十大论战 集合论诞生了
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1701056542 19世纪70年代和80年代是集合论发展的时期。1872年,戴德金已经在一一对应的无穷集和子集上做了一些工作。康托尔继续钻研下一个逻辑问题:有不可数的无穷吗?就是说,有规模不一样的无穷吗?他通过再次审视数的集合来开展这项研究。他清楚有理数集可以一一对应于自然数集,代数数(14)集也可以这样。
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1701056544 这样能得出实数集(15)吗?他花了些功夫,但在1873年年底,他写信给戴德金说,他已经成功地证明了实数集不能与自然数集一一对应(16)。它是“不可数的无穷”。康托尔给这种集合取名“连续统”,用符号c表示。这一刻,集合论诞生了,不同规模集合的观念形成了!
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1701056546 通过这个证明,他展示了实数的次序比自然数高。他明白他必须发表这个结论。他也明白很多数学家都对他的成果持有很大保留意见。在这篇论文中,他将既解决无理数问题,又解决无穷的规模问题。他希望论文发表在《克列尔杂志》上。不幸的是,克罗内克作为那儿的编辑,有权拒绝任何论文。克罗内克也已经流露过对康托尔研究方向的不满。更何况,克罗内克的观点,包括他对无理数的认识,在数学界广为人知。如果其他数学家看到一篇清楚陈述康托尔新成果的论文,仅仅是为了讨好克罗内克,他们也会坚决表示反对意见的。
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1701056548 康托尔决定耍个心眼。他认为,业内的很多人,包括克罗内克,很可能是仅仅扫一下这篇论文的题目,看是否有什么值得反对的东西在里面。他给他的论文取名为《关于所有实代数数集合的性质》(On a Propery of the Collection of All Real Algebraic Numbers)。因此,从这个题目来看,它仅仅像是对约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)一个早期定理的证明。这个定理说的是:非代数实数确实存在。表面上看来,他似乎只是写代数数方面的问题。这个策略成功了。1874年,这篇论文蒙混过关,发表在《克列尔杂志》上了。集合论崭露头角——但它不得不藏在一篇看起来说的是别的主题的论文里。
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1701056550 但是,现在麻烦要来了。从这时开始,康托尔清楚,克罗内克会更加提防他的。
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1701056556 数学恩仇录:数学家的十大论战 冲突开始了
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1701056558 事情平静了一段时间,康托尔继续准备迎接下一个挑战。1877年,他发现甚至他自己也忽略了无穷的一个性质。在1874年给戴德金的一封信中,他提出了下面的问题:一个平面(比如一个包含边界的正方形)能和一条线(比如一条包含两个端点的直线段)一一对应吗?这样,对于平面上的每个点,在线上都有一个对应点;反过来,对于线上的每个点,平面上都有一个点与之对应。我认为解答这个问题不是一件容易的事,尽管事实上看起来,答案似乎很明显是“不能”,证明它显得几乎没有必要(17)。
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1701056560 这个故事第一个值得注意的地方是:康托尔应该提出了这样一个问题。第二个值得注意的地方是:3年后他再次写信给戴德金说,他已经阐释了这个问题的答案,是“能”。概括一下,他说n维连续空间可以与一条线上的点集一一对应(具有相同的势)。他写下“我看出了这一点,但我不敢相信。”(18)他的证明有点笨拙,但非常正确。
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1701056562 戴德金对康托尔的新发现表示祝贺,但提醒他将其发表会很难。他说对了。1877年7月12日,康托尔将阐释这个发现的论文送给《克列尔杂志》。尽管这些发现——所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷——颇有争议,但杂志的编辑答应发表它,魏尔斯特拉斯也承诺在论文面世后宣传它。
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1701056564 然而随着时间的流逝,很显然杂志社方面没有采取任何行动去促成论文的发表。康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼,阻挠论文的刊载。他越来越不安,写信给戴德金说他考虑收回这篇论文,尽力在别的地方发表它——尽管《克列尔杂志》以前发表过他的成果。戴德金说服他再等一段时间看,或许他对杂志施加了某些影响。无论如何,这篇有时被称作康托尔的《稿子》(Beitrag)的重要论文,最后确实在第二年进入了公众的视野。
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1701056566 尽管杂志发表了他的论文,但时间拖得这么长,克罗内克竟能施展阴谋到如此程度,康托尔还是感到很不安。
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1701056568 克罗内克的阻挠行为背后有部分动力纯粹是出于数学目的,他只是实实在在地不同意康托尔的数学观点,理解这一点很重要。克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念,不应该允许他发表这些没有结果的想法。克罗内克不是第一次这样做,他曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。况且,康托尔的证明建立在无理数和实数一一对应的关系上,而对于克罗内克来说,无理数纯粹就不存在。
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