1701056655
正如康托尔13年前在《克列尔杂志》的一篇论文里所做的那样，为了避开克罗内克的耳目，他用特别的方法将他的论文改头换面了一番。这一次他把论文取名为《关于集合论的一个基本性质》（On an Elementary Property of Set Theory）。他认为无理数依然存在争议，但用他的新方法，他不再需要依赖它们，甚或也无需依赖无穷集合的一般观念。
1701056656
1701056657
克罗内克是否会中圈套，我们永远都不会知道了。克罗内克的妻子在一次登山事故中受了伤，他送话来说他祝愿大会成功，但不能到会了。
1701056658
1701056659
后来，康托尔向米塔格-列夫勒透露说，克罗内克不出席可能是最好不过的事了，因为这给同行了解克罗内克在幕后诋毁康托尔一个的绝佳机会。可是，克罗内克本人在这一年的12月去世了。
1701056660
1701056661
大会很成功，会后，康托尔的论文发表在德国数学学会的《年度报告》（Jahresbericht）上。康托尔表明：给定任意集合，它所有子集组成的集合总是比它的母集合高一次幂（高一个基数）。在论文中，他对有限和无穷基数做了新的强调，这又说明了它们各自恰好是集合的有限和无限幂数。
1701056662
1701056663
与此同时，康托尔对德国和德国数学家越来越反感，这也没什么好奇怪的。于是，他很快就积极参与筹划1897年将在苏黎世召开的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）。与成立德国数学学会一样，他希望为新思想的发展创立一个更鼓舞人心的论坛。
1701056664
1701056665
也许是第一次感到逃离了克罗内克恶毒的眼睛，没有什么顾忌，康托尔拿出了一份对他的无穷集合理论新的详细说明。在1885年和1887年，这份说明分两次刊登在《数学年鉴》（Mathematische Annalen）上。
1701056666
1701056667
1701056668
1701056669
1701056671
数学恩仇录：数学家的十大论战 一个新的世纪
1701056672
1701056673
1888年，康托尔写道：“我的理论像岩石一样坚固，所有射向它的箭都会很快被反弹回来射向射箭的人。我凭什么知道这一点？因为我从各方面研究它好多年了；因为我观察过各种与无穷数抵触的事物。”(33)
1701056674
1701056675
过了一段时间，看起来数学中所有的问题都开始有用集合来定义和解释的苗头——事实上，集合论最终会成为数学的基石。
1701056676
1701056677
然而到世纪之交的时候，康托尔完全没有先前那么自信了。首先，他和其他人在他的研究中发现了某些悖论，这使他和他的追随者们很是痛苦。这里陈述的悖论，是指从可接受的前提得出矛盾结论。一个简单的例子是著名的塞维利亚理发师的故事：他宣称要给塞维利亚城所有不给自己刮脸的男人刮脸，那么他给自己刮脸吗？
1701056678
1701056679
集合论中最著名的悖论是1901年由伯特兰·A·W·罗素提出来的。他是英国广为人知的哲学家兼数学家。罗素提了一个乍看起来很简单的问题，但它动摇了集合论和大部分数学学科赖以维系的根基。罗素考虑到这样一个事实：实质上每种事物都可以归入集合，这就是集合论观念如此强大的原因。他假定一个由所有不是自身元素的集合所组成的集合，称这个集合为R。然后他问：集合R是它自身的一个元素吗？跟那个理发师一样，如果R是它自身的元素，那么它不符合这个集合元素的定义；如果它不是自身的元素，那么它是这个集合一个元素。
1701056680
1701056681
罗素悖论不是集合论中发现的第一个悖论，也不是唯一的一个悖论。事实上，康托尔的朋友恩斯特·策梅洛在以前提出过类似的问题，但认为它不值得追究和发表。
1701056682
1701056683
但这个悖论有着深刻的寓意。早期的集合论考虑过包容一切事物的泛集合的可能性。现在看来，这是不可能的，不是每种事物都能形成集合。我们开始看到，这些悖论对数学家和逻辑学家提出了多么严重的挑战。跟其他悖论一样，罗素悖论就像一头在花园里跳舞的大象一样困扰着数学家们。
1701056684
1701056685
然而对于一些数学家来说，包括那些悖论，这些负面的走向中没有一个看起来能推翻康托尔在超限算术中的基本结论。实际上，人们认为康托尔的新观点和新理论对数学分析、函数理论、拓扑学和非欧几何的进一步发展有极其重要的作用，也认为从普遍意义上来说，要对数学有更基本的理解，它确实是个基础。（现在，各种中学数学课一般都教初级的集合论知识，特别是在上概率论和拓扑学课时。）
1701056686
1701056687
20世纪早期，康托尔仍然在和他的一些同行交流，并积极捍卫他的成果。可喜的是，在他还在世的时候，他的成果获得了广泛的认同，会议和颁奖礼的组织者们很乐意邀请他。不幸的是尽管如此，他的病已经严重到他根本没法参加这些公共聚会的程度。1899年夏天，1902年至1903年和1904年至1905年的冬季学期，他都没法授课，这段时间他都在医院度过。在这之后，他每次在哈勒大学医院里呆的时间越来越长，比如，从1907年10月22日到1908年6月15日，从1911年9月28日到1912年6月18日——这一次，他转到一家新的医院。
1701056688
1701056689
1917年5月11日，康托尔最后一次住进哈勒大学医院。他很不乐意离开家，经常写信给他妻子要求回家，但他的心愿没有实现。那时，第一次世界大战激战正酣，食品短缺，这给他们的生活造成了很大麻烦。1918年1月6日，这位仍住在医院里的杰出数学家突发心脏病辞世，享年73岁。
1701056690
1701056691
哈勒大学中心的一小片地上，竖着一块纪念碑，上面刻着康托尔的脸，还有一些数字，使人们想起他的对角化证明。碑上有一句德语，这样写道：“数学的精髓就在于它的自由。”康托尔更倾向于用“自由数学”这个词，而不是更大众化的“纯粹数学”。
1701056692
1701056693
1701056694
1701056695
1701056697
数学恩仇录：数学家的十大论战 总 结
1701056698
1701056699
很多年以后，关注康托尔和克罗内克之间关系的作者都视克罗内克为“既错误又不公正。”他们的素材几乎都毫无例外地来自于贝尔。正如他用不失华丽且通常富有说服力的方式所描述的：“看到数学在康托尔的带领下向疯人院挺进，激情满怀、全身心投入到他所认为的数学真理的克罗内克，利用所有能利用的手段，精力旺盛而又恶毒地抨击‘关于无穷的正确理论’和它超级敏感的作者。最后，产生了悲剧性的后果——不是集合论，而是康托尔进了精神病院。克罗内克的攻击摧毁了这个理论的创始人。”(34)
1701056700
1701056701
后来，贝尔的语气委婉了一点：“对于康托尔的悲剧，也许克罗内克受了过多的责难。对于众多引发康托尔悲剧的因素来说，他的作为仅是其中之一而已。”(35)但他的话还是有这样的含义：克罗内克是个寻衅者，是个坏家伙。贝尔之后的很多作者都持有相同的观点。
1701056702
1701056703
我们已经看到，克罗内克的所作所为很可能使康托尔的病雪上加霜，但不大像是康托尔得病的主因。对于他攻击康托尔怎样“精力旺盛而又恶毒”，也有一些问题值得商榷。
1701056704
[
上一页 ]
[ :1.701056655e+09 ]
[
下一页 ]