1701057190
这里是庞加莱对于罗素尝试解决“悖论”的几个评论：
1701057191
1701057192
依据曲折论，当“定义（命题函数）很简单时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不能决定一个类。”现在，谁来决定一个定义是否可以被认为简单到能被接受？如果不对完全无能为力做一个忠实的坦白的话，这个问题就没有答案。（讽刺性地引用罗素的话）“那些让我们认识到这些定义是否正确的规则将会极其复杂，不能用任何合理的原因来解释它们。”……除了排除悖论以外，我还没能找到任何其他的指导性原则。
1701057193
1701057194
庞加莱这样结束这一个观点：
1701057195
1701057196
因此，这个理论仍然很含混；于是，黑暗中出现了一线曙光——“曲折”。罗素称之为“曲折”的这个词毫无疑问就是使艾皮米尼地斯狡辩（the argument of Epimenides）显得与众不同的独特之处。
1701057197
1701057198
庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。如果他在撒谎，那么他在说真话；如果他在说真话，那么他在撒谎。
1701057199
1701057200
关于限量论，庞加莱争辩说：“如果一个类范围太广，它将没有理由存在下去。也许它可以是无限的，但它不应该大得过分了。但我们经常反复遇到同样的难题：在哪一个点上，它才开始变得过大？当然了，这个难题还没有解决，但罗素就接着去讨论第三个理论了。”(34)
1701057201
1701057202
接着，庞加莱矛头转向罗素的非类论。不过首先提醒大家注意，这是罗素在《会报》上发表的论文的结尾部分，罗素已经加了一个附录：“通过进一步的研究，我现在感觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的所有难题，非类论都能提供一个完整的解决办法，这几乎是没有什么疑问的。”(35)
1701057203
1701057204
庞加莱不是很赞成这种说法。他指责说，
1701057205
1701057206
在非类论中，不允许说“类”这个词，这个词必须用各种委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是多么大的一个改变啊！重组整个逻辑变得很有必要。想象一下，在谈论一个类问题的地方，整页的逻辑会让所有的命题看起来怎样地压抑啊？在一页乏味的论述之中，将会只有零散的命题幸存下来。Apparent rari nantes in gurgite vasto（在一个巨大的漩涡中，只看到到处有人在游泳。）(36)
1701057207
1701057208
在继续谈到罗素的反应和反击前，我最好多写一点庞加莱的指责：
1701057209
1701057210
在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以“支柱和翅膀”。接着，在下一页中有“10年前，皮亚诺就出版了他的《汇编》（Formulaire）”。有翅膀10年了，还没有飞起来，怎么会这样呢？
1701057211
1701057212
我对皮亚诺致以最高的敬意，他出产了很多杰作（例如，“空间填充曲线”这个现在弃用的术语）。但终归是，他还没有比大部分没有翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。
1701057213
1701057214
相反，在逻辑中，我只看到了束缚创造的镣铐。它对简明没有帮助——而且差得很远。如果在说明1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要多少个函数呢？(37)
1701057215
1701057216
1701057217
1701057218
1701057219
1701057220
1701057222
数学恩仇录：数学家的十大论战 反 击
1701057223
1701057224
为了确保庞加莱明白他的观点，罗素在庞加莱家乡的《形而上学与伦理学杂志》上做出他的回应。在1906年9月这一期上，他这样开头：
1701057225
1701057226
我相信，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》（1906年5月）误解了我关于逻辑的性质和目的……同时，它还提出了困扰超穷集合论悖论的一个解决办法。庞加莱先生主张，这些悖论都起源于某种恶性循环，在这一点上，我同意他的说法。但他没有意识到避免这种恶性循环的难度。我应该努力说明，如果要避开它，像我的“非类论”之类的东西似乎是必需的。的确，正是为了这个目的，我发明了这个理论。(38)
1701057227
1701057228
接下来是大约20页的解释，其中还包括对庞加莱的指责的其他回复。
1701057229
1701057230
一个特别有趣的例子是他对庞加莱轻视皮亚诺的回复。罗素回应说：
1701057231
1701057232
对于庞加莱先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦恭地斗胆提出与他不同的一点意见。（接下来罗素复述了庞加莱的指责——他还没有比……没有翅膀的数学家走得……，也许他用他的双腿行走会更好。）
1701057233
1701057234
现在，我要向庞加莱先生表明，这只是说明皮亚诺先生的工作没有引起他的兴趣的一种表述方法。皮亚诺先生已经锻造出一个对某些研究来说具有巨大力量的工具。我们中的一些人对这些研究感兴趣，从而对皮亚诺先生充满敬意。我们认为，他正如我们中的这些人所敬重的那样，比那些忽视他的“无翅膀”的数学家走得远和快得多。(39)
1701057235
1701057236
对于庞加莱对罗素非类论的评价，罗素这样回答：
1701057237
1701057238
如果庞加莱先生能够抛弃对逻辑与数学任何其他门类都截然不同的信念，他也会意识到：在倡议不把类当作独立的实体上，我不是在倡议做出一个改变，以使它对于“重组所有逻辑”将是必须的；我也不希望禁止人们“说‘类’这个词”，就像哥白尼希望禁止人们说日出一样。
1701057239
[
上一页 ]
[ :1.70105719e+09 ]
[
下一页 ]