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在一些介绍性的内容之后，他说：“对公理一致性的表述，几乎没有这么认真的，无论是在数论、分析还是在集合论中。”(23)
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在文中，为了回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了经过修订的大胆的新计划，这个计划为形式主义的学派树立了一个更新更牢固的基础。他继续在文中提出了对分析公理一致性的证明的大概想法，把数论建立在数“1”和符号“＋”的基础上。“当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”(24)文中剩下的部分他谈论了别的话题。然而范·达伦说：“希尔伯特从来没有成功地证明过他的论据。这有点像自行车内胎上的一个凸起（原文如此），每次他按下这个凸起，别的地方又冒出另一个。直接地说，这个问题极端的复杂。多年以后，在1936年，杰出的德国数学家格哈德·根岑（Gerhard Gentzen，1909—1945）最终成功地找到了关于超限过程完整而正确的分析方法。”(25)利用根岑的新方法，人们认识到希尔伯特的证明理论是一个极好而又有力的数学工具，对计算机科学尤其有帮助(26)。
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外尔的事迹有一个有趣的后记。同样在1922年的那篇文章中，希尔伯特把布劳威尔和外尔当作一个团伙来抨击，无视他们两人之间观点的显然不同，例如他们对直觉主义的诠释。接着，如我在前面所提到的，大约1925年的时候，外尔开始稍微远离布劳威尔的直觉主义。从那时起，希尔伯特将他的抨击主要集中在布劳威尔的身上，但同时也无视外尔的转变。比如即使迟至1928年，希尔伯特还提起“他的学派将一切都简化为一个游戏”这个批评，并做出回应。但是你会回想起，这是外尔的批评，而不是布劳威尔的。
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这次两人都认识到他们的争端存在于两个水平面上，理解这一点很重要。当然这里也有个人竞争，但两人也都在一个更广的意义上把自己看作救世主。也就是说，两人都认为数学处于一场根本的危机中，他们每个人都认为自己是那个能把数学从衰落和颓败中拯救出来的人。另外，至少希尔伯特的担心更甚。他认为：“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”(27)
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1928年，在他对希尔伯特新方法的一个回应中，布劳威尔写道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受启发多，而且它还有望受益更多。”因此形式主义学派应该给直觉主义一些赞誉，而不是用轻蔑的语气攻击它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主义应该考虑这样一个事实：迄今为止，在形式主义的框架内，正确的数学知识没有哪一样得到了保护（既然公理系统的一致性的证明都还是缺失的）。
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“在另一方面，直觉主义……已经建立了有着不可置疑确定性的数学新基础。”(28)对布劳威尔来说，任何语言，包括形式主义者的，都是有用的，但仅限于交流。布劳威尔的一个博士生阿伦德·海廷（Arend Heyting）在1930年恰当地写道：“建立一套与直觉主义的数学等同的规则系统在理论上是不可能的，因为思考的可能性不能简化为有限几步预先建立的规则。”(29)
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回顾一下，我们可以看到，希尔伯特和布劳威尔在谈论着颇有分歧的观点。他们的分歧中至少有一点卷入了国家感情的冲突——奇怪的是，作为非德藉数学家，在一本黎曼的纪念册上，他强烈反对收入一些法国数学家的名字，这让希尔伯特很恼火。最后，他们的争论牵涉到了更多的个人偏见——双方都这样。
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尽管布劳威尔没有希尔伯特那么有名，但他还是在数学界树立了牢固的声誉。1925年和1926年，他开始在诸如《数学年鉴》（Mathematische Annalen）这样的杂志上发表论文。1914年，他被任命为这个备受尊敬的杂志编辑部的成员，从那以后，他谨慎并慢条斯理地为杂志工作着。这项任命是一个荣誉，也是对他在数学界里所受尊敬的表示。
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但即便在这里，他暴躁的脾气也产生了负面影响。费利克斯·克莱因（Felix Klein）是杂志的主编之一，他已经决定要辞职，很显然这是因为和布劳威尔发生争执引起的——这场争执中，布劳威尔实际上是对的，但他表现得太粗鲁了，于是克莱因决定引退。这是一个让人震惊的结果，因为克莱因已经为《数学年鉴》工作了好多年，在某种程度上，他已成为总编辑，为杂志的成功作出了巨大的贡献。
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但希尔伯特也是《数学年鉴》的主要编辑之一。对布劳威尔来说很不幸的是，用今天的话来说，他只能称为助理编辑，而希尔伯特是主编之一。实际上，在克莱因引退之后，希尔伯特接手了大部分的工作，结果这本杂志开始有了“属于”哥廷根大学数学家的名声。我们可以从希尔伯特下一步的行动看到，他们之间的争端升级到了什么地步。
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在1928年10月底之前不久，布劳威尔收到了一封来自希尔伯特的信。信是这样写的：
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亲爱的同事：
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既然我们俩在基础问题上的观点无法调和，我和你合作是不可能的了。我已经就授权问题征求过《数学年鉴》执行编辑部成员们的意见，布鲁门萨尔（Blumenthal）和卡拉西奥多里（Caratheodory）（奥托（Otto）和康斯坦丁（Constantin），是另外两位执行编辑，阿尔伯特·爱因斯坦是第四位）已经授权给我通知你，从今往后，我们将放弃与你在编辑《年鉴》上的合作，因此也把你的名字从刊名页上删去。同时，我感谢你以《年鉴》编辑的名义，为了我们杂志的利益在过去所做的努力！
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敬礼！
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D·希尔伯特(30)
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做出这种行动的原因要比我们想象的复杂得多。主要的一个原因似乎是希尔伯特有些担心他会早死——在1925年11月，他已经被诊断出有恶性贫血，他想确保布劳威尔的观点不会继续在《年鉴》成员中间潜移默化。还有一个个人的原因。德克·范·达伦转述了布鲁门萨尔对这个情况的看法：“希尔伯特认为布劳威尔刚愎自用，难以捉摸，飞扬跋扈。他……担心，如果有一天希尔伯特离开了编辑部，布劳威尔会迫使编辑部屈从他的意志。”(31)
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另一个原因与德、法两国数学家之间的关系有关。因为第一次世界大战，他们之间的关系一直很紧张。希尔伯特认为，早先用来抚平这些关系的机会都被布劳威尔破坏了。比如1926年，他们已经拟好一个计划，出版一本文集来纪念本哈德·黎曼——也就是说，出版一本文集来纪念他诞辰100周年。希尔伯特曾想收入一位重要的法国数学家保罗·潘勒韦（Paul Painleve）写的论文。然而在1918年，潘勒韦曾激烈地谴责德国的科学界。希尔伯特和其他人认为潘勒韦在后来已经不再抱有这种敌意了，但布劳威尔坚定地认为收入潘勒韦的作品是对德国数学成就的侮辱。尽管希尔伯特的地位更高，但杂志运作必不可少的民主程序使得这本书没有收入任何法国数学家的文章，就这样出版了。
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在这次清理门户事件中，希尔伯特同样需要其他执行编辑们的默许。他从布鲁门萨尔和卡拉西奥多里那里多少得到了不同程度的默许，但在爱因斯坦那里，他碰壁了。希尔伯特曾在10月15日写信给爱因斯坦，请求他作为编辑的一员允许他给布劳威尔发一封辞退信。在他给出的理由中，有一条是：布劳威尔在以前一封信函中不仅侮辱了他（希尔伯特），而且还侮辱了大部分德国数学家；布劳威尔持有“对同情外国数学家有鲜明的敌对立场。他（希尔伯特）认为把哥廷根大学当作《年鉴》主要基地是一个好主意”。他还在附言中提到了他糟糕的身体状况。
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爱因斯坦回信了，大意是：做你认为该做的，但我不能在这样一封辞退信上签名。
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